1) Найдите затраты монопольной фирмы tc = q2 + 6q. Определите: а) оптимальную цену и количество продукции монополиста

Хорошо, рассмотрим данную задачу поэтапно.

1) Начнем с определения затрат монопольной фирмы. Дано, что общие затраты \(tc\) данной фирмы определяются уравнением \(tc = q^2 + 6q\), где \(q\) - количество продукции.

2) Для нахождения оптимальной цены и количества продукции монополиста, нам понадобится знать выражение для себестоимости \(mc\) - предельных затрат на производство одной единицы продукции. Для этого возьмем первую производную от функции затрат \(tc\) по количеству продукции \(q\):

\[
mc = \frac{{d(tc)}}{{d(q)}} = \frac{{d(q^2 + 6q)}}{{d(q)}}
\]

Производная от \(q^2\) будет равна \(2q\), а производная от \(6q\) - просто 6:

\[
mc = 2q + 6
\]

3) Далее, чтобы найти оптимальную цену и количество продукции, мы должны равнять предельные затраты (\(mc\)) и предельный доход (\(mr\)). Общая формула для предельного дохода монополиста выглядит так:

\[
mr = P(1 - \frac{1}{{e}})
\]

где \(P\) - цена продажи, а \(e\) - коэффициент эластичности спроса.

4) Теперь, пользуясь формулой предельного дохода, мы можем выразить цену как функцию от количества \(q\):

\[
P = \frac{{mr}}{{1 - \frac{1}{{e}}}}
\]

5) Далее, мы можем выразить общие доходы фирмы \(TR\) (total revenue) как произведение цены на количество:

\[
TR = P \cdot q
\]

6) Приравниваем предельные затраты к предельному доходу, чтобы определить оптимальное количество продукции:

\[
2q + 6 = \frac{{mr}}{{1 - \frac{1}{{e}}}}
\]

7) Решаем уравнение относительно \(q\), представляя \(mr\) через \(P\) и \(e\). Выражение для \(q\) будет:

\[
q = \frac{{6(e-1)}}{{2e}}
\]

8) Теперь, чтобы найти оптимальную цену, подставляем найденное значение \(q\) в уравнение для \(P\):

\[
P = \frac{{mr}}{{1 - \frac{1}{{e}}}} = \frac{{q(2q + 6)}}{{1 - \frac{1}{{e}}}}
\]

Подставляем значение \(q\), полученное в пункте 7:

\[
P = \frac{{\frac{{6(e-1)}}{{2e}}(2\frac{{6(e-1)}}{{2e}} + 6)}}{{1 - \frac{1}{{e}}}}
\]

9) Продолжим со вторым пунктом - налогом на продукцию. Пусть \(t\) - налог на единицу продукции. Сумма налога на продукцию будет равна произведению налога на количество продукции:

\[
tax = tq
\]

10) Мы должны определить такую величину налога \(t\), которая обеспечит максимальные налоговые поступления. Для этого мы найдем производную от налоговых поступлений относительно налога \(t\) и приравняем ее к нулю:

\[
\frac{{d(tax)}}{{d(t)}} = \frac{{d(tq)}}{{d(t)}}
\]

Производная от \(q\) по \(t\) будет просто \(q\):

\[
q = 0
\]

11) Решим уравнение относительно \(t\), где \(q\) (количество продукции) равно нулю:

\[
t(0) = 0
\]

То есть, чтобы обеспечить максимальные налоговые поступления, налог на продукцию должен быть равен нулю.

12) Наконец, давайте найдем цену и количество продукции монополиста с учетом налога. Для этого мы должны вычесть налог из определенной цены и количества продукции:

\[
P_{tax} = P - t \quad \text{и} \quad q_{tax} = q - t
\]

Где \(P\) и \(q\) - оптимальная цена и количество продукции, найденные в пунктах 8 и 7 соответственно.

Это распределение оптимальной цены и количества продукции при учете налога на продукцию. Обратите внимание, что в данной задаче установлено, что налог на продукцию будет равен нулю.