1) Найдите затраты монопольной фирмы tc = q2 + 6q. Определите: а) оптимальную цену и количество продукции монополиста

Хорошо, рассмотрим данную задачу поэтапно.

1) Начнем с определения затрат монопольной фирмы. Дано, что общие затраты $tc$ данной фирмы определяются уравнением $tc=q^2+6q$, где $q$ - количество продукции.

2) Для нахождения оптимальной цены и количества продукции монополиста, нам понадобится знать выражение для себестоимости $mc$ - предельных затрат на производство одной единицы продукции. Для этого возьмем первую производную от функции затрат $tc$ по количеству продукции $q$:

$$mc=\frac{d(tc)}{d(q)}=\frac{d(q^2+6q)}{d(q)}$$

Производная от $q^2$ будет равна $2q$, а производная от $6q$ - просто 6:

$$mc=2q+6$$

3) Далее, чтобы найти оптимальную цену и количество продукции, мы должны равнять предельные затраты ($mc$) и предельный доход ($mr$). Общая формула для предельного дохода монополиста выглядит так:

$$mr=P(1-\frac{1}{e})$$

где $P$ - цена продажи, а $e$ - коэффициент эластичности спроса.

4) Теперь, пользуясь формулой предельного дохода, мы можем выразить цену как функцию от количества $q$:

$$P=\frac{mr}{1-\frac{1}{e}}$$

5) Далее, мы можем выразить общие доходы фирмы $TR$ (total revenue) как произведение цены на количество:

$$TR=P\cdot q$$

6) Приравниваем предельные затраты к предельному доходу, чтобы определить оптимальное количество продукции:

$$2q+6=\frac{mr}{1-\frac{1}{e}}$$

7) Решаем уравнение относительно $q$, представляя $mr$ через $P$ и $e$. Выражение для $q$ будет:

$$q=\frac{6(e-1)}{2e}$$

8) Теперь, чтобы найти оптимальную цену, подставляем найденное значение $q$ в уравнение для $P$:

$$P=\frac{mr}{1-\frac{1}{e}}=\frac{q(2q+6)}{1-\frac{1}{e}}$$

Подставляем значение $q$, полученное в пункте 7:

$$P=\frac{\frac{6(e-1)}{2e}(2\frac{6(e-1)}{2e}+6)}{1-\frac{1}{e}}$$

9) Продолжим со вторым пунктом - налогом на продукцию. Пусть $t$ - налог на единицу продукции. Сумма налога на продукцию будет равна произведению налога на количество продукции:

$$tax=tq$$

10) Мы должны определить такую величину налога $t$, которая обеспечит максимальные налоговые поступления. Для этого мы найдем производную от налоговых поступлений относительно налога $t$ и приравняем ее к нулю:

$$\frac{d(tax)}{d(t)}=\frac{d(tq)}{d(t)}$$

Производная от $q$ по $t$ будет просто $q$:

$$q=0$$

11) Решим уравнение относительно $t$, где $q$ (количество продукции) равно нулю:

$$t(0)=0$$

То есть, чтобы обеспечить максимальные налоговые поступления, налог на продукцию должен быть равен нулю.

12) Наконец, давайте найдем цену и количество продукции монополиста с учетом налога. Для этого мы должны вычесть налог из определенной цены и количества продукции:

$$P_{tax}=P-t\text{и}{q}_{tax}=q-t$$

Где $P$ и $q$ - оптимальная цена и количество продукции, найденные в пунктах 8 и 7 соответственно.

Это распределение оптимальной цены и количества продукции при учете налога на продукцию. Обратите внимание, что в данной задаче установлено, что налог на продукцию будет равен нулю.