1. Найдите угловой коэффициент касательной линии, проведенной к кривой y=x^3 в точке C(-2;-8). 2. Для кривой

Хорошо, давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Чтобы найти угловой коэффициент касательной линии к кривой \(y=x^3\) в точке \(C(-2;-8)\), нам нужно найти производную функции \(y=x^3\). Производная функции является угловым коэффициентом касательной линии в каждой точке кривой. Давайте найдем производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2
\]

Теперь подставим значение \(x = -2\) в производную, чтобы получить угловой коэффициент касательной в данной точке:

\[
\frac{{dy}}{{dx}}\bigg|_{x=-2} = 3(-2)^2 = 12
\]

Таким образом, угловой коэффициент касательной линии к кривой \(y=x^3\) в точке \(C(-2;-8)\) равен 12.

2. Для кривой с уравнением \(y=x^2+5x+3\) мы можем использовать ту же самую идею. Найдем производную функции \(y=x^2+5x+3\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2x + 5
\]

Подставим \(x = -2\) и \(x = 0\) в производную для определения углов наклона касательных линий в соответствующих точках:

a) Для \(x = -2\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}}\bigg|_{x=-2} = 2(-2) + 5 = 1
\]

Угловой коэффициент касательной линии в точке с абсциссой \(x = -2\) равен 1.

б) Для \(x = 0\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}}\bigg|_{x=0} = 2(0) + 5 = 5
\]

Угловой коэффициент касательной линии в точке с абсциссой \(x = 0\) равен 5.

3. Чтобы найти точку, в которой касательная линия к кривой \(y=4x^2-6x+3\) параллельна прямой \(y=2x\), мы должны сравнить угловые коэффициенты касательной и прямой. Угловой коэффициент прямой \(y=2x\) равен 2. Давайте найдем производную функции \(y=4x^2-6x+3\) и приравняем ее к 2:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 8x - 6
\]
\[
8x - 6 = 2
\]
\[
8x = 8
\]
\[
x = 1
\]

Таким образом, точка, в которой касательная линия к кривой \(y=4x^2-6x+3\) параллельна прямой \(y=2x\), имеет абсциссу \(x = 1\).

4. а) Чтобы найти точку, в которой касательная линия к кривой \(y=x^2-1\) параллельна оси 0x, мы должны найти угловой коэффициент касательной и сравнить его с нулем. Так как касательная параллельна оси 0x, ее угловой коэффициент равен 0. Давайте найдем производную функции \(y=x^2-1\) и приравняем ее к 0:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2x
\]
\[
2x = 0
\]
\[
x = 0
\]

Таким образом, точка, в которой касательная линия к кривой \(y=x^2-1\) параллельна оси 0x, имеет абсциссу \(x = 0\).

б) Чтобы найти точку, в которой касательная линия к кривой \(y=x^2-1\) образует угол 45 градусов с осью у, мы должны найти угловой коэффициент касательной и сравнить его с tg(45°) = 1. Рассмотрим уравнение для нахождения углового коэффициента:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2x
\]

Приравняем его к 1 и решим уравнение:

\[
2x = 1
\]
\[
x = \frac{1}{2}
\]

Таким образом, точка, в которой касательная линия к кривой \(y=x^2-1\) образует угол 45 градусов с осью у, имеет абсциссу \(x = \frac{1}{2}\).

5. Чтобы найти абсциссу точки на параболе \(y=-x^2+x+\frac{3}{4}\), в которой касательная линия параллельна оси абсцисс, мы должны найти угловой коэффициент касательной и сравнить его с нулем. Угловой коэффициент касательной, параллельной оси абсцисс, равен 0. Давайте найдем производную функции \(y=-x^2+x+\frac{3}{4}\) и приравняем ее к 0:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -2x + 1
\]
\[
-2x + 1 = 0
\]
\[
x = \frac{1}{2}
\]

Таким образом, абсцисса точки на параболе \(y=-x^2+x+\frac{3}{4}\), в которой касательная линия параллельна оси абсцисс, равна \(\frac{1}{2}\).

Надеюсь, эти подробные решения помогли вам понять решение данных задач. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам.