1) Найдите третью сторону и второй угол треугольника, если известны стороны a=8см, с=6см и угол между ними в=15

Хорошо, начнем с первой задачи.

1) Для нахождения третьей стороны и второго угла треугольника, мы можем использовать теорему косинусов. Итак, у нас есть стороны a = 8 см, c = 6 см и угол В между ними, равный 15 градусов.

Теорема косинусов гласит:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]

где a, b и c - стороны треугольника, A - противолежащий угол к стороне a.

В нашем случае, сторона a соответствует стороне c, поскольку угол В находится между ними. Поэтому мы можем записать формулу:

\[a^2 = c^2 + b^2 - 2bc \cos(В)\]

Подставим значения, которые у нас есть:

\[8^2 = 6^2 + b^2 - 2 \cdot 6 \cdot b \cdot \cos(15^\circ)\]

Решим это уравнение для неизвестной стороны b:

\[64 = 36 + b^2 - 12b \cdot \cos(15^\circ)\]

\[28 = b^2 - 12b \cdot \cos(15^\circ)\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта.

Сначала найдем дискриминант:

\[D = (-12 \cdot \cos(15^\circ))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28\]

\[D \approx 216.56\]

Теперь, найдем неизвестную сторону b, применяя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[b = \frac{-(-12 \cdot \cos(15^\circ)) \pm \sqrt{216.56}}{2 \cdot 1}\]

\[b_1 \approx 20.028 \, \text{см}\]
\[b_2 \approx -8.028 \, \text{см}\] (отрицательное значение стороны не имеет физического смысла, поэтому его можно отбросить)

Таким образом, третья сторона треугольника равна приближенно 20,028 см, а второй угол равен значение, противолежащее найденной стороне. Значит, второй угол равен приближенно 180° минус угол В (т.е. 180° - 15°), что равно 165°.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Для нахождения третьей стороны и угла треугольника, при условии, что у нас есть стороны b = 7 см, c = 5 см и угол a = 145 градусов, мы также можем использовать теорему косинусов.

Итак, у нас есть стороны b = 7 см, c = 5 см и угол a, равный 145 градусов.

Мы можем использовать формулу теоремы косинусов, как в предыдущей задаче:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]

Но на этот раз сторона a соответствует заданному углу a = 145 градусов. Поэтому мы можем записать формулу:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(a)\]

Подставим значения, которые у нас есть:

\[a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(145^\circ)\]

Решим это уравнение для неизвестной стороны a:

\[a^2 = 49 + 25 + 70 \cdot \cos(145^\circ)\]

\[a^2 \approx 117.92\]

Поскольку сторона a больше нуля, получаем:

\[a \approx \sqrt{117.92}\]

\[a \approx 10.85 \, \text{см}\]

Теперь вычислим величину второго угла. У нас есть стороны a и c, поэтому мы можем использовать теорему синусов:

\[\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(C)}{c}\]

В данном случае противолежащие углы A и C являются известными углами a = 145 градусов и c = 5 см соответственно.

Подставим значения:

\[\frac{\sin(145^\circ)}{10.85} = \frac{\sin(C)}{5}\]

Решим это уравнение для неизвестного угла C:

\[\sin(C) = \frac{5 \cdot \sin(145^\circ)}{10.85}\]

\[C \approx \arcsin\left(\frac{5 \cdot \sin(145^\circ)}{10.85}\right)\]

\[C \approx 19.57^\circ\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна приближенно 10.85 см, а угол C равен приближенно 19.57 градусов.