1. Найдите производные следующих функций: а) у=х в кубе; б) у=sinus х; в) у=tangens х; г) у=e в степени х; д) у=2х.
2. Найдите производные следующих функций в заданных точках: а) f(x)=ln х, f"(½); б) f(x)=log3 х, f"(1); в) f(x)=квадратный корень из х, f "(¼); г) f(x)=косинус х, f"( 2 ); д) f(x)=cosecant х, f"( 2 ).
3. Вычислите производные: а) у=3х в квадрате; б) у=4х в четвертой степени; в) у= 2 разделить на х; г) у=квадратный корень из 2х; д) у=отрицательный квадратный корень из 3х; е) у=х+х; ж) у=х+3х.
4. Вычислите производные: а) у=2х в квадрате минус 3х плюс 5; б) у= 2 делить на х; в) у=4 минус х в квадрате; г) у=х в четвертой степени минус х в квадрате; д) у=х в пятой степени плюс 2х в кубе минус 1 разделить на квадратный корень из х; е) у=квадратный корень из 3х; ж) квадратный корень из х.
5. Найдите производную от составной функции: а) у=(квадратный корень из х плюс 1) в пятой степени; б) у=квадратный корень из х.
2. Найдите производные следующих функций в заданных точках: а) f(x)=ln х, f"(½); б) f(x)=log3 х, f"(1); в) f(x)=квадратный корень из х, f "(¼); г) f(x)=косинус х, f"( 2 ); д) f(x)=cosecant х, f"( 2 ).
3. Вычислите производные: а) у=3х в квадрате; б) у=4х в четвертой степени; в) у= 2 разделить на х; г) у=квадратный корень из 2х; д) у=отрицательный квадратный корень из 3х; е) у=х+х; ж) у=х+3х.
4. Вычислите производные: а) у=2х в квадрате минус 3х плюс 5; б) у= 2 делить на х; в) у=4 минус х в квадрате; г) у=х в четвертой степени минус х в квадрате; д) у=х в пятой степени плюс 2х в кубе минус 1 разделить на квадратный корень из х; е) у=квадратный корень из 3х; ж) квадратный корень из х.
5. Найдите производную от составной функции: а) у=(квадратный корень из х плюс 1) в пятой степени; б) у=квадратный корень из х.
Vesenniy_Dozhd
Понятно, вашему школьнику потребуется подробное и обстоятельное объяснение для каждой задачи. Давайте начнем с первой задачи:
1. а) У нас дана функция \(у = х^3\). Для нахождения производной этой функции используем правило степенной производной. В данном случае степень равна 3, поэтому производная будет равна умножению степени на коэффициент (3) и уменьшению степени на 1. Получаем:
\[\frac{dу}{dx} = 3х^2\]
б) Функция \(у = \sin(x)\) - это синус функция. Для нахождения производной этой функции применим правило производной синуса:
\[\frac{dу}{dx} = \cos(x)\]
в) Функция \(у = \tan(x)\) - это тангенс функция. Для нахождения производной этой функции применим правило производной тангенса:
\[\frac{dу}{dx} = \sec^2(x)\]
г) Функция \(у = e^x\) - это экспоненциальная функция с основанием \(е\). Для нахождения производной этой функции используем правило производной экспоненты:
\[\frac{dу}{dx} = e^x\]
д) Функция \(у = 2x\) - это простая линейная функция. Для нахождения производной этой функции применим правило производной линейной функции:
\[\frac{dу}{dx} = 2\]
Продолжим со второй задачей:
2. а) Для нахождения производной функции \(f(x) = \ln(x)\) в точке \(x = \frac{1}{2}\) сначала найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = \frac{1}{x}\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -\frac{1}{x^2}\]
Подставим точку \(x = \frac{1}{2}\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = \frac{1}{2}} = -\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = -4\]
б) Для функции \(f(x) = \log_3(x)\) в точке \(x = 1\) найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = \frac{1}{x\ln(3)}\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -\frac{1}{x^2\ln(3)}\]
Подставим точку \(x = 1\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = 1} = -\frac{1}{1^2\ln(3)} = -\frac{1}{\ln(3)}\]
в) Для функции \(f(x) = \sqrt{x}\) в точке \(x = \frac{1}{4}\) найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}\]
Подставим точку \(x = \frac{1}{4}\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = \frac{1}{4}} = -\frac{1}{4\left(\frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = -2\]
г) Для функции \(f(x) = \cos(x)\) в точке \(x = 2\) найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = -\sin(x)\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -\cos(x)\]
Подставим точку \(x = 2\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = 2} = -\cos(2)\]
д) Для функции \(f(x) = \csc(x)\) в точке \(x = 2\) найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = -\csc(x)\cot(x)\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -2\csc(x)\cot(x)\csc(x)\]
Подставим точку \(x = 2\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = 2} = -2\csc(2)\cot(2)\csc(2)\]
Перейдем к третьей задаче:
3. а) Для функции \(у = 3x^2\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 6x\]
б) Для функции \(у = 4x^4\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 16x^3\]
в) Для функции \(у = \frac{2}{x}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = -\frac{2}{x^2}\]
г) Для функции \(у = \sqrt{2x}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2x}}\]
д) Для функции \(у = -\sqrt{3x}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{3x}}\]
е) Для функции \(у = x + x\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 1 + 1 = 2\]
ж) Для функции \(у = x + 3x\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 1 + 3 = 4\]
Перейдем к четвертой задаче:
4. а) Для функции \(у = 2x^2 - 3x + 5\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 4x - 3\]
б) Для функции \(у = \frac{2}{x^3}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = -\frac{6}{x^4}\]
в) Для функции \(у = \frac{3x}{x^2 + 1}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = \frac{3(x^2 + 1) - 3x(2x)}{(x^2 + 1)^2}\]
г) Для функции \(у = \ln(2x - 1)\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = \frac{2}{2x - 1}\]
д) Для функции \(у = x^2 + \cos(x)\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 2x - \sin(x)\]
Надеюсь, это объяснение поможет вашему школьнику лучше понять процесс поиска производных и решения данных задач.
1. а) У нас дана функция \(у = х^3\). Для нахождения производной этой функции используем правило степенной производной. В данном случае степень равна 3, поэтому производная будет равна умножению степени на коэффициент (3) и уменьшению степени на 1. Получаем:
\[\frac{dу}{dx} = 3х^2\]
б) Функция \(у = \sin(x)\) - это синус функция. Для нахождения производной этой функции применим правило производной синуса:
\[\frac{dу}{dx} = \cos(x)\]
в) Функция \(у = \tan(x)\) - это тангенс функция. Для нахождения производной этой функции применим правило производной тангенса:
\[\frac{dу}{dx} = \sec^2(x)\]
г) Функция \(у = e^x\) - это экспоненциальная функция с основанием \(е\). Для нахождения производной этой функции используем правило производной экспоненты:
\[\frac{dу}{dx} = e^x\]
д) Функция \(у = 2x\) - это простая линейная функция. Для нахождения производной этой функции применим правило производной линейной функции:
\[\frac{dу}{dx} = 2\]
Продолжим со второй задачей:
2. а) Для нахождения производной функции \(f(x) = \ln(x)\) в точке \(x = \frac{1}{2}\) сначала найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = \frac{1}{x}\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -\frac{1}{x^2}\]
Подставим точку \(x = \frac{1}{2}\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = \frac{1}{2}} = -\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = -4\]
б) Для функции \(f(x) = \log_3(x)\) в точке \(x = 1\) найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = \frac{1}{x\ln(3)}\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -\frac{1}{x^2\ln(3)}\]
Подставим точку \(x = 1\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = 1} = -\frac{1}{1^2\ln(3)} = -\frac{1}{\ln(3)}\]
в) Для функции \(f(x) = \sqrt{x}\) в точке \(x = \frac{1}{4}\) найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}\]
Подставим точку \(x = \frac{1}{4}\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = \frac{1}{4}} = -\frac{1}{4\left(\frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}} = -2\]
г) Для функции \(f(x) = \cos(x)\) в точке \(x = 2\) найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = -\sin(x)\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -\cos(x)\]
Подставим точку \(x = 2\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = 2} = -\cos(2)\]
д) Для функции \(f(x) = \csc(x)\) в точке \(x = 2\) найдем первую производную:
\[\frac{df}{dx} = -\csc(x)\cot(x)\]
Затем найдем вторую производную:
\[\frac{d^2f}{dx^2} = -2\csc(x)\cot(x)\csc(x)\]
Подставим точку \(x = 2\):
\[\frac{d^2f}{dx^2}\Bigg|_{x = 2} = -2\csc(2)\cot(2)\csc(2)\]
Перейдем к третьей задаче:
3. а) Для функции \(у = 3x^2\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 6x\]
б) Для функции \(у = 4x^4\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 16x^3\]
в) Для функции \(у = \frac{2}{x}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = -\frac{2}{x^2}\]
г) Для функции \(у = \sqrt{2x}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2x}}\]
д) Для функции \(у = -\sqrt{3x}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{3x}}\]
е) Для функции \(у = x + x\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 1 + 1 = 2\]
ж) Для функции \(у = x + 3x\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 1 + 3 = 4\]
Перейдем к четвертой задаче:
4. а) Для функции \(у = 2x^2 - 3x + 5\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 4x - 3\]
б) Для функции \(у = \frac{2}{x^3}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = -\frac{6}{x^4}\]
в) Для функции \(у = \frac{3x}{x^2 + 1}\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = \frac{3(x^2 + 1) - 3x(2x)}{(x^2 + 1)^2}\]
г) Для функции \(у = \ln(2x - 1)\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = \frac{2}{2x - 1}\]
д) Для функции \(у = x^2 + \cos(x)\) найдем производную:
\[\frac{dу}{dx} = 2x - \sin(x)\]
Надеюсь, это объяснение поможет вашему школьнику лучше понять процесс поиска производных и решения данных задач.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
