1. Найдите площадь и длину окружности, ограничивающей круг, если сторона квадрата, описанного вокруг него, составляет

Хорошо, давайте по очереди решим каждую задачу с подробным объяснением.

1. Для начала рассмотрим квадрат, описанный вокруг данного круга. Известно, что сторона этого квадрата составляет 6 см. Поскольку квадрат равносторонний, то все его стороны имеют одинаковую длину, а значит, длина сторон квадрата равна 6 см.

Теперь перейдем к самому кругу. Отметим центр круга и проведем радиус, который будет пересекать стороны квадрата в их серединах. Получим, что радиус круга равен половине стороны квадрата, и равен 3 см.

Теперь найдем нужные нам величины. Площадь круга можно найти по формуле \(S = \pi r^2\), где \(\pi\) - это число "пи", примерно равное 3,14, а \(r\) - радиус круга. В нашем случае площадь будет равна:
\[S = 3,14 \cdot 3^2 = 3,14 \cdot 9 = 28,26 \, \text{см}^2\]

Длина окружности можно найти по формуле \(C = 2 \pi r\), где \(C\) - длина окружности. В нашем случае:
\[C = 2 \cdot 3,14 \cdot 3 = 18,84 \, \text{см}\]

Таким образом, площадь ограничивающей круг окружности составляет 28,26 квадратных сантиметра, а длина окружности составляет 18,84 сантиметра.

2. Теперь рассмотрим вторую задачу. У нас есть окружность с радиусом 10 см и дугой, угол которой равен 150º. Задача состоит в том, чтобы найти длину этой дуги и площадь кругового сектора, соответствующего данной дуге.

Длина дуги можно вычислить по формуле \(L = \frac{{2 \pi r \cdot \theta}}{{360}}\), где \(L\) - длина дуги, \(r\) - радиус окружности, а \(\theta\) - угол в градусах. Подставив значения из условия задачи, получим:
\[L = \frac{{2 \cdot 3,14 \cdot 10 \cdot 150}}{{360}} = \frac{{3140}}{{360}} = 8,72 \, \text{см}\]

Теперь найдем площадь кругового сектора. Формула для этого выглядит так: \(S = \frac{{\pi r^2 \cdot \theta}}{{360}}\), где \(S\) - площадь кругового сектора, \(r\) - радиус окружности, а \(\theta\) - угол в градусах. Подставим значения из условия задачи:
\[S = \frac{{3,14 \cdot 10^2 \cdot 150}}{{360}} = \frac{{3140}}{{360}} = 8,72 \, \text{см}^2\]

Таким образом, длина дуги окружности составляет 8,72 сантиметра, а площадь кругового сектора равна 8,72 квадратных сантиметра.

3. Последняя задача связана с квадратом и правильным пятиугольником, описанными вокруг и вписанными в окружность. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм.

Зная периметр квадрата, можно найти сторону квадрата, разделив периметр на 4, так как квадрат имеет 4 равные стороны. В нашем случае, сторона квадрата равна:
\[a = \frac{{16 \, \text{дм}}}{{4}} = 4 \, \text{дм}\]

Теперь рассмотрим правильный пятиугольник, вписанный в эту же окружность. Поскольку квадрат описан около окружности, то диаметр окружности равен длине стороны квадрата. Таким образом, диаметр окружности равен 4 дм.

Чтобы найти периметр правильного пятиугольника, нужно знать длину его стороны. Для этого воспользуемся формулой:
\[s = \frac{{d}}{{2 \cdot \sin(\frac{{180}}{{n}})}}\]
где \(s\) - длина стороны пятиугольника, \(d\) - диаметр описанной окружности, а \(n\) - количество сторон многоугольника. В нашем случае, у нас правильный пятиугольник (\(n = 5\)), поэтому:
\[s = \frac{{4 \, \text{дм}}}{{2 \cdot \sin(\frac{{180}}{{5}})}} = \frac{{4 \, \text{дм}}}{{2 \cdot \sin(36°)}}\]

Синус 36° равен примерно 0,5878. Подставив это значение, получим:
\[s = \frac{{4 \, \text{дм}}}{{2 \cdot 0,5878}} = \frac{{4 \, \text{дм}}}{{1,1756}} = 3,405 \, \text{дм}\]

Теперь, чтобы найти периметр пятиугольника, нужно просто умножить длину стороны на количество сторон:
\[P = 5s = 5 \cdot 3,405 \, \text{дм} = 17,025 \, \text{дм}\]

Таким образом, периметр правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность, равен 17,025 дециметра.

Вот схематичный рисунок, чтобы лучше понять задачу:

  _______

 |\      /|

 | \    / |

 |  \  /  |

 |   \/   |

 |   /\   |

 |  /  \  |

 | /    \ |

 |/______\|

Надеюсь, эти объяснения помогли вам разобраться в задачах. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!