1. Найдите площадь и длину окружности, ограничивающей круг, если сторона квадрата, описанного вокруг него, составляет

Хорошо, давайте по очереди решим каждую задачу с подробным объяснением.

1. Для начала рассмотрим квадрат, описанный вокруг данного круга. Известно, что сторона этого квадрата составляет 6 см. Поскольку квадрат равносторонний, то все его стороны имеют одинаковую длину, а значит, длина сторон квадрата равна 6 см.

Теперь перейдем к самому кругу. Отметим центр круга и проведем радиус, который будет пересекать стороны квадрата в их серединах. Получим, что радиус круга равен половине стороны квадрата, и равен 3 см.

Теперь найдем нужные нам величины. Площадь круга можно найти по формуле $S=\pi r^2$, где $\pi$ - это число "пи", примерно равное 3,14, а $r$ - радиус круга. В нашем случае площадь будет равна:
$$S=3,14\cdot 3^2=3,14\cdot 9=28,26{\text{см}}^2$$

Длина окружности можно найти по формуле $C=2\pi r$, где $C$ - длина окружности. В нашем случае:
$$C=2\cdot 3,14\cdot 3=18,84\text{см}$$

Таким образом, площадь ограничивающей круг окружности составляет 28,26 квадратных сантиметра, а длина окружности составляет 18,84 сантиметра.

2. Теперь рассмотрим вторую задачу. У нас есть окружность с радиусом 10 см и дугой, угол которой равен 150º. Задача состоит в том, чтобы найти длину этой дуги и площадь кругового сектора, соответствующего данной дуге.

Длина дуги можно вычислить по формуле $L=\frac{2\pi r\cdot \theta }{360}$, где $L$ - длина дуги, $r$ - радиус окружности, а $\theta$ - угол в градусах. Подставив значения из условия задачи, получим:
$$L=\frac{2\cdot 3,14\cdot 10\cdot 150}{360}=\frac{3140}{360}=8,72\text{см}$$

Теперь найдем площадь кругового сектора. Формула для этого выглядит так: $S=\frac{\pi r^2\cdot \theta }{360}$, где $S$ - площадь кругового сектора, $r$ - радиус окружности, а $\theta$ - угол в градусах. Подставим значения из условия задачи:
$$S=\frac{3,14\cdot {10}^2\cdot 150}{360}=\frac{3140}{360}=8,72{\text{см}}^2$$

Таким образом, длина дуги окружности составляет 8,72 сантиметра, а площадь кругового сектора равна 8,72 квадратных сантиметра.

3. Последняя задача связана с квадратом и правильным пятиугольником, описанными вокруг и вписанными в окружность. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм.

Зная периметр квадрата, можно найти сторону квадрата, разделив периметр на 4, так как квадрат имеет 4 равные стороны. В нашем случае, сторона квадрата равна:
$$a=\frac{16\text{дм}}{4}=4\text{дм}$$

Теперь рассмотрим правильный пятиугольник, вписанный в эту же окружность. Поскольку квадрат описан около окружности, то диаметр окружности равен длине стороны квадрата. Таким образом, диаметр окружности равен 4 дм.

Чтобы найти периметр правильного пятиугольника, нужно знать длину его стороны. Для этого воспользуемся формулой:
$$s=\frac{d}{2\cdot \sin (\frac{180}{n})}$$
где $s$ - длина стороны пятиугольника, $d$ - диаметр описанной окружности, а $n$ - количество сторон многоугольника. В нашем случае, у нас правильный пятиугольник ($n=5$), поэтому:
$$s=\frac{4\text{дм}}{2\cdot \sin (\frac{180}{5})}=\frac{4\text{дм}}{2\cdot \sin (36°)}$$

Синус 36° равен примерно 0,5878. Подставив это значение, получим:
$$s=\frac{4\text{дм}}{2\cdot 0,5878}=\frac{4\text{дм}}{1,1756}=3,405\text{дм}$$

Теперь, чтобы найти периметр пятиугольника, нужно просто умножить длину стороны на количество сторон:
$$P=5s=5\cdot 3,405\text{дм}=17,025\text{дм}$$

Таким образом, периметр правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность, равен 17,025 дециметра.

Вот схематичный рисунок, чтобы лучше понять задачу:

  _______

 |\      /|

 | \    / |

 |  \  /  |

 |   \/   |

 |   /\   |

 |  /  \  |

 | /    \ |

 |/______\|

Надеюсь, эти объяснения помогли вам разобраться в задачах. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!