1. Найдите период колебаний Т и максимальное значение силы тока Imax в колебательном контуре, если разность потенциалов

1. Для нахождения периода колебаний \(T\) и максимального значения силы тока \(I_{\text{max}}\) в колебательном контуре, нам потребуется использовать следующие формулы:

Период колебаний:
\[T = 2\pi\sqrt{LC}\]

Максимальное значение силы тока:
\[I_{\text{max}} = \frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{\frac{L}{C}}}\]

Где:
\(U_{\text{max}}\) - разность потенциалов на пластинах конденсатора (в нашем случае \(U_{\text{max}} = 100\) В),
\(C\) - емкость конденсатора (в нашем случае \(C = 1\) мкФ),
\(L\) - индуктивность катушки (в нашем случае \(L = 1\) Гн).

Подставим данные в формулы:

Период колебаний:
\[T = 2\pi\sqrt{(1\, \text{Гн}) \cdot (1\, \text{мкФ})}\]

Максимальное значение силы тока:
\[I_{\text{max}} = \frac{100\, \text{В}}{\sqrt{\frac{1\, \text{Гн}}{1\, \text{мкФ}}}}\]

Решим эти выражения:

Период колебаний:
\[T = 2\pi\sqrt{(10^{-9})} \approx 6,28 \times 10^{-4}\, \text{с} \approx 0,000628\, \text{с}\]

Максимальное значение силы тока:
\[I_{\text{max}} = \frac{100}{\sqrt{10^9}} \approx 100\, \text{мА}\]

Таким образом, период колебаний \(T \approx 0,000628\, \text{с}\) и максимальное значение силы тока \(I_{\text{max}} \approx 100\, \text{мА}\).

2. Для определения периода колебаний \(T\), частоты колебаний \(v\), индуктивности \(L\), емкости \(C\) конденсатора и максимального напряжения \(U_{\text{max}}\) в колебательном контуре, используем следующие формулы:

Период колебаний:
\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

Частота колебаний:
\[v = \frac{1}{T}\]

Индуктивность:
\[L = \frac{W}{\frac{1}{2}I_{\text{max}}^2}\]

Емкость:
\[C = \frac{1}{\omega^2L}\]

Максимальное напряжение:
\[U_{\text{max}} = I_{\text{max}}\cdot Z\]

Где:
\(\omega\) - угловая частота (в нашем случае \(\omega = 200\pi\) рад/с),
\(I\) - сила тока (в нашем случае \(I = 0,1\cos(200\pi t)\) А),
\(W\) - энергия электромагнитного поля (в нашем случае \(W = 0,5\) мДж).

Подставим данные в формулы:

Период колебаний:
\[T = \frac{2\pi}{200\pi} = \frac{1}{200} \approx 0,005\, \text{с}\]

Частота колебаний:
\[v = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,005} = 200\, \text{Гц}\]

Индуктивность:
\[L = \frac{0,5 \times 10^{-3}}{\frac{1}{2} \times (0,1)^2} = \frac{0,5 \times 10^{-3}}{0,01} = 0,05\, \text{Гн}\]

Емкость:
\[C = \frac{1}{(200\pi)^2 \times 0,05} = \frac{1}{(200\pi)^2 \times 0,05} \approx 6,366 \times 10^{-8}\, \text{Ф}\]

Максимальное напряжение:
\[U_{\text{max}} = 0,1 \times Z\]

Здесь \(Z\) - импеданс, зависящий от \(L\) и \(C\) и вычисляемый по формуле \(Z = \sqrt{L / C}\). Подставим значения \(L\) и \(C\) в формулу для \(Z\):

\[Z = \sqrt{\frac{0,05}{6,366 \times 10^{-8}}} \approx 2200\, \text{Ом}\]

Тогда максимальное напряжение:
\[U_{\text{max}} = 0,1 \times 2200 = 220\, \text{В}\]

Итак, период колебаний \(T = 0,005\) секунд, частота колебаний \(v = 200\) Гц, индуктивность \(L = 0,05\) Гн, емкость \(C \approx 6,366 \times 10^{-8}\) Ф и максимальное напряжение \(U_{\text{max}} = 220\) В.

3. Чтобы найти общую емкость двух конденсаторов \(C_1\) и \(C_2\), просто нужно сложить их емкости:

\[C_{\text{общ}} = C_1 + C_2\]

Таким образом, общая емкость равна сумме емкостей каждого отдельного конденсатора.