1. Найдите период колебаний Т и максимальное значение силы тока Imax в колебательном контуре, если разность потенциалов

1. Для нахождения периода колебаний $T$ и максимального значения силы тока $I_{\text{max}}$ в колебательном контуре, нам потребуется использовать следующие формулы:

Период колебаний:
$$T=2\pi \sqrt{LC}$$

Максимальное значение силы тока:
$$I_{\text{max}}=\frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{\frac{L}{C}}}$$

Где:
$U_{\text{max}}$ - разность потенциалов на пластинах конденсатора (в нашем случае $U_{\text{max}}=100$ В),
$C$ - емкость конденсатора (в нашем случае $C=1$ мкФ),
$L$ - индуктивность катушки (в нашем случае $L=1$ Гн).

Подставим данные в формулы:

Период колебаний:
$$T=2\pi \sqrt{(1\text{Гн})\cdot (1\text{мкФ})}$$

Максимальное значение силы тока:
$$I_{\text{max}}=\frac{100\text{В}}{\sqrt{\frac{1\text{Гн}}{1\text{мкФ}}}}$$

Решим эти выражения:

Период колебаний:
$$T=2\pi \sqrt{({10}^{-9})}\approx 6,28\times {10}^{-4}\text{с}\approx 0,000628\text{с}$$

Максимальное значение силы тока:
$$I_{\text{max}}=\frac{100}{\sqrt{{10}^9}}\approx 100\text{мА}$$

Таким образом, период колебаний $T\approx 0,000628\text{с}$ и максимальное значение силы тока $I_{\text{max}}\approx 100\text{мА}$.

2. Для определения периода колебаний $T$, частоты колебаний $v$, индуктивности $L$, емкости $C$ конденсатора и максимального напряжения $U_{\text{max}}$ в колебательном контуре, используем следующие формулы:

Период колебаний:
$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$

Частота колебаний:
$$v=\frac{1}{T}$$

Индуктивность:
$$L=\frac{W}{\frac{1}{2}{I}_{\text{max}}^2}$$

Емкость:
$$C=\frac{1}{{\omega }^{2}L}$$

Максимальное напряжение:
$$U_{\text{max}}=I_{\text{max}}\cdot Z$$

Где:
$\omega$ - угловая частота (в нашем случае $\omega =200\pi$ рад/с),
$I$ - сила тока (в нашем случае $I=0,1\cos (200\pi t)$ А),
$W$ - энергия электромагнитного поля (в нашем случае $W=0,5$ мДж).

Подставим данные в формулы:

Период колебаний:
$$T=\frac{2\pi }{200\pi }=\frac{1}{200}\approx 0,005\text{с}$$

Частота колебаний:
$$v=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,005}=200\text{Гц}$$

Индуктивность:
$$L=\frac{0,5\times {10}^{-3}}{\frac{1}{2}\times (0,1{)}^2}=\frac{0,5\times {10}^{-3}}{0,01}=0,05\text{Гн}$$

Емкость:
$$C=\frac{1}{(200\pi {)}^2\times 0,05}=\frac{1}{(200\pi {)}^2\times 0,05}\approx 6,366\times {10}^{-8}\text{Ф}$$

Максимальное напряжение:
$$U_{\text{max}}=0,1\times Z$$

Здесь $Z$ - импеданс, зависящий от $L$ и $C$ и вычисляемый по формуле $Z=\sqrt{L/C}$. Подставим значения $L$ и $C$ в формулу для $Z$:

$$Z=\sqrt{\frac{0,05}{6,366\times {10}^{-8}}}\approx 2200\text{Ом}$$

Тогда максимальное напряжение:
$$U_{\text{max}}=0,1\times 2200=220\text{В}$$

Итак, период колебаний $T=0,005$ секунд, частота колебаний $v=200$ Гц, индуктивность $L=0,05$ Гн, емкость $C\approx 6,366\times {10}^{-8}$ Ф и максимальное напряжение $U_{\text{max}}=220$ В.

3. Чтобы найти общую емкость двух конденсаторов $C_1$ и $C_2$, просто нужно сложить их емкости:

$$C_{\text{общ}}=C_1+C_2$$

Таким образом, общая емкость равна сумме емкостей каждого отдельного конденсатора.