1. Найдите меру угла АВЕ в прямоугольном треугольнике АВС, где на катете АС взяли точку Е так, что отрезок ВЕ делится

Давайте решим задачу по порядку.

1. Найдем меру угла АВЕ в прямоугольном треугольнике АВС, где на катете АС взяли точку Е так, что отрезок ВЕ делится пополам высотой треугольника и угол ВАС равен 25 градусам.

Для начала, построим небольшую диаграмму для наглядности:

\[
\begin{array}{cccc}
& & A & \\
& & | & \\
& \nearrow & | & \swarrow \\
C & & | & & B \\
& \swarrow & | & \nearrow \\
& & E &
\end{array}
\]

Из условия задачи у нас есть прямоугольный треугольник АВС, где угол ВАС равен 25 градусам. Также известно, что отрезок ВЕ делится пополам высотой треугольника, а значит, BE = EC.

Воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Также известно, что в прямоугольном треугольнике углы BAC и BCA являются прямыми.

Таким образом, у нас есть уравнение:

Угол ВАС + угол САВ + угол АВС = 180 градусов

25 + 90 + угол АВЕ = 180

Перенесем значения и решим уравнение:

угол АВЕ = 180 - 25 - 90

угол АВЕ = 65 градусов

Таким образом, мера угла АВЕ в прямоугольном треугольнике АВС равна 65 градусам.

2. Теперь докажем равенство СЕ и СК в прямоугольном треугольнике АВС, где на гипотенузе АВ опущена высота СН, а биссектриса АЕ пересекает ее в точке К.

Для начала, построим небольшую диаграмму для наглядности:

\[
\begin{array}{cccc}
& & A & \\
& \nearrow & | & \swarrow \\
C & & | & & B \\
& \swarrow & | & \nearrow \\
& & H & \\
& & | \\
& & N & \\
& & | \\
& & K &
\end{array}
\]

Из условия задачи у нас есть прямоугольный треугольник АВС, где на гипотенузе АВ опущена высота СН, а биссектриса АЕ пересекает ее в точке К.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на две равные части. Таким образом, точка Н является серединой гипотенузы АВ, а значит, AH = HB.

Также мы знаем, что биссектриса треугольника делит угол на две равные части. Значит, у нас есть равенство углов:

угол НАК = угол КАН

Вспомним свойство треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусов. Так как угол НАВ является прямым, то имеем:

угол НАК + угол КАН + угол НАВ = 180 градусов

Заменим НАК на угол КАН:

угол КАН + угол КАН + угол НАВ = 180 градусов

2 * угол КАН + 90 градусов = 180 градусов

2 * угол КАН = 90 градусов

угол КАН = 90 / 2

угол КАН = 45 градусов

Теперь у нас есть равнобедренный треугольник АКН, в котором угол КАН равен 45 градусов, а угол АКН также равен 45 градусов.

Таким образом, у нас есть равенство углов и равные отрезки:

угол КАН = угол АКН = 45 градусов
AH = HB

А значит, отрезок CE и отрезок CK также равны, то есть CE = CK.

Таким образом, мы доказали равенство СЕ и СК в прямоугольном треугольнике АВС.