1. Найдите корни уравнения: косинус от π(2x+54)/4 = −2/–√2. Запишите наибольший отрицательный корень в ответе

Давайте решим поставленные задачи по порядку:

1. Для нахождения корней уравнения, нам нужно привести его к стандартному виду. Мы знаем, что \(\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)\), поэтому уравнение можно переписать следующим образом:

\[\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi(2x+54)}{4})
= -\frac{2}{-\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]

Мы также можем провести упрощение выражения \(\frac{\pi(2x+54)}{4}\), деля каждый его член на \(\pi\):

\[\frac{2x+54}{4} = \frac{2}{\pi}\]

Теперь приступим к решению уравнения. Найдем сначала значение \(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi(2x+54)}{4}\), равное арксинусу от \(\sqrt{2}\):

\[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi(2x+54)}{4} = \arcsin(\sqrt{2})\]

После нахождения данного значения, мы сможем найти \(2x+54\):

\[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi(2x+54)}{4} = \frac{\pi}{4}\]

Теперь выразим \(2x+54\):

\[2x+54 = \frac{1}{2}\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\]

\[2x = \frac{\pi}{4} - 54\]

\[x = \frac{\frac{\pi}{4} - 54}{2}\]

\[x = \frac{\pi - 216\sqrt{2}}{8}\]

Подставим \(x\) в исходное уравнение и найдем его корни:

\[\cos(\frac{\pi(2x+54)}{4}) = -\frac{2}{-\sqrt{2}}\]

\[\cos(\frac{\pi(2(\frac{\pi - 216\sqrt{2}}{8})+54)}{4}) = -\frac{2}{-\sqrt{2}}\]

\[\cos(\frac{\pi(\frac{\pi - 216\sqrt{2}+432}{8})}{4}) = \sqrt{2}\]

\[\cos(\frac{\pi(\pi - 216\sqrt{2}+432)}{32}) = \sqrt{2}\]

\[cos(\frac{\pi^2 - 216\pi\sqrt{2}+432\pi}{32}) = \sqrt{2}\]

\[cos(\frac{\pi^2}{32} - \frac{216\pi\sqrt{2}}{32}+\frac{432\pi}{32}) = \sqrt{2}\]

\[cos(\frac{\pi^2}{32} - \frac{108\pi\sqrt{2}}{16}+\frac{27\pi}{8}) = \sqrt{2}\]

Так как я не могу решить в уме значение данного косинуса, прошу вас самостоятельно посчитать его или воспользоваться калькулятором. Найдя значение данного выражения, найдите наибольший отрицательный корень.

2. Для решения данной задачи нам необходимо найти интервал времени, в течение которого скорость груза превышала 7,5 см/с. Для этого нам нужно найти моменты времени, когда скорость груза равна 7,5 см/с.

\(\sin(\frac{\pi t}{3}) = \frac{7,5}{15} = \frac{1}{2}\)

Рассмотрим значение \(\frac{\pi t}{3}\), равное арксинусу от \(\frac{1}{2}\):

\(\frac{\pi t}{3} = \arcsin(\frac{1}{2})\)

Далее, чтобы найти значение \(t\), мы делим оба выражения на \(\pi\):

\(\frac{t}{3} = \frac{1}{6}\)

\(t = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Значит, скорость груза превышала 7,5 см/с в течение первой половины секунды времени.

3. Давайте решим данную задачу по отдельности для автомобиля и мотоциклиста.

Для автомобиля:
Расстояние между городами A и B составляет 135 км, а скорость автомобиля составляет 81 км/ч. Чтобы найти время, которое автомобиль потратил на дорогу, мы должны поделить расстояние на скорость:

\(t_1 = \frac{135\text{ км}}{81\text{ км/ч}} = \frac{135}{81}\text{ ч} = \frac{5}{3}\text{ ч}\)

\(t_1 = \frac{5}{3}\text{ ч}\)

Для мотоциклиста:
Расстояние между городами C и B не указано, поэтому продолжим решение, предполагая, что это расстояние такое же, как и между городами A и B (135 км).

Скорость мотоциклиста не указана, поэтому предположим, что мотоциклист движется со скоростью \(v\) км/ч. Чтобы найти время, которое мотоциклист потратил на дорогу, мы также должны поделить расстояние на скорость:

\(t_2 = \frac{135\text{ км}}{v\text{ км/ч}}\)

Заметим, что теперь у нас есть два различных времени \(t_1\) и \(t_2\) для автомобиля и мотоциклиста соответственно.

Теперь задача состоит в том, чтобы найти такое значение скорости мотоциклиста \(v\), чтобы время, затраченное им на дорогу, было в два раза меньше времени, затраченного автомобилем:

\(t_2 = \frac{135}{v} < \frac{5}{3}\)

Решив неравенство, найдем:

\(\frac{135}{v} < \frac{5}{3}\)

\(135 < \frac{5v}{3}\)

\(405 < 5v\)

\(v > 81\)

Таким образом, мотоциклист должен двигаться со скоростью больше чем 81 км/ч, чтобы время, затраченное на дорогу, было в два раза меньше времени, затраченного автомобилем.