1. Найдите координаты вершины параболы. а) Что является координатами вершины параболы в функции у = х* - 4х

1. Найдите координаты вершины параболы.

а) Для определения координат вершины параболы в функции \(y = x^2 - 4x + 5\), необходимо применить формулу:
\[x_v = -\frac{b}{2a}\]
\[y_v = f(x_v)\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты в квадратном уравнении \(ax^2 + bx + c\).

Для заданной функции \(y = x^2 - 4x + 5\), у нас есть:
\(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 5\).

Теперь можем найти координаты вершины:

\[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\]
\[y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 1\]

Таким образом, координаты вершины параболы в функции \(y = x^2 - 4x + 5\) равны (2, 1).

б) В функции \(y = 2x^2 - 4x - 6\) у нас есть \(a = 2\), \(b = -4\) и \(c = -6\). Применяя те же шаги, получаем:

\[x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1\]
\[y_v = 2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 - 6 = -8\]

Таким образом, координаты вершины параболы в функции \(y = 2x^2 - 4x - 6\) равны (1, -8).

в) Функция \(y = -0,5x^2 + 3x + 2,5\) имеет \(a = -0,5\), \(b = 3\) и \(c = 2,5\). Применяя формулу, находим:

\[x_v = -\frac{3}{2 \cdot -0,5} = 3\]
\[y_v = -0,5 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 2,5 = 5,5\]

Таким образом, координаты вершины параболы в функции \(y = -0,5x^2 + 3x + 2,5\) равны (3, 5,5).

г) В функции \(y = -x + 2x\) у нас есть \(a = -1\), \(b = 2\) и \(c = 0\). Применяя формулу, получаем:

\[x_v = -\frac{2}{2 \cdot -1} = 1\]
\[y_v = -1 + 2 \cdot 1 = 1\]

Таким образом, координаты вершины параболы в функции \(y = -x + 2x\) равны (1, 1).

2. Постройте график квадратичной функции.

а) Для построения графика функции \(y = x^2 - 2x + 1\) можно использовать метод точек или построить таблицу значений.

Метод точек:
Выбираем несколько значений для \(x\), подставляем их в функцию, и находим соответствующие значения \(y\):

\[
\begin{align*}
x &= 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1 \\
x &= 1 \quad \Rightarrow \quad y = 1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0 \\
x &= 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 1 \\
\end{align*}
\]

Получившуюся серию точек (0, 1), (1, 0), (2, 1) можно отобразить на координатной плоскости и соединить линией, чтобы получить график параболы.

б) Для функции \(y = -2x^2 + 3x - 4\) можно использовать тот же метод точек:

\[
\begin{align*}
x &= 0 \quad \Rightarrow \quad y = -2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 - 4 = -4 \\
x &= 1 \quad \Rightarrow \quad y = -2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 4 = -3 \\
x &= 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 4 = 0 \\
\end{align*}
\]

Точки: (0, -4), (1, -3), (2, 0)

в) Для функции \(y = 2x^2 + x + 4\):

\[
\begin{align*}
x &= 0 \quad \Rightarrow \quad y = 2 \cdot 0^2 + 0 + 4 = 4 \\
x &= 1 \quad \Rightarrow \quad y = 2 \cdot 1^2 + 1 + 4 = 7 \\
x &= 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2 \cdot 2^2 + 2 + 4 = 14 \\
\end{align*}
\]

Точки: (0, 4), (1, 7), (2, 14)

г) Существует и более точный способ построения графика параболы, используя вершину и ось симметрии, которые мы нашли в предыдущем задании.

Для функции \(y = -x^2 + 2x\), вершина находится в точке (1, 1). Ось симметрии проходит через вершину и является вертикальной линией \(x = 1\).

Будет достаточно построить две точки, симметричных относительно оси симметрии, чтобы получить график параболы. Мы можем выбрать, например, \(x = 0\) и \(x = 2\):

\[f(0) = -(0)^2 + 2 \cdot (0) = 0\]
\[f(2) = -(2)^2 + 2 \cdot (2) = 0\]

Точки: (0, 0), (1, 1), (2, 0)

Теперь мы можем нарисовать параболу, проходящую через эти точки на координатной плоскости.