1. Найдите длину отрезка CD в равносторонних треугольниках ABC и ABD, имеющих общую сторону AB и плоскости, образующие

а) Для начала, найдем длину отрезка CD в равносторонних треугольниках ABC и ABD. Поскольку треугольники ABC и ABD равносторонние, все их стороны будут равны.

Таким образом, сторона AC будет равна стороне BC, то есть AC = BC = 2 см.

Посмотрим на треугольник ACD. У него есть общая сторона AD с треугольником ABD и сторона AC равна стороне BC треугольника ABC. Таким образом, треугольник ACD будет подобен треугольнику ABD.

Теперь, вспомним, что у равностороннего треугольника все углы равны 60°. Так как треугольник ABD - равносторонний, угол ADB равен 60°.

Получаем, что у треугольника ACD угол CAD также равен 60°.

Поскольку треугольник ACD - равнобедренный (сторона AC равна стороне CD), угол ADC будет равным углу CAD, то есть 60°.

Таким образом, в треугольнике ACD имеется два равных угла по 60° и один угол, равный 60°.

Из этого следует, что треугольник ACD - равносторонний.

Таким образом, длина отрезка CD в равностороннем треугольнике ACD равна длине любой из его сторон, то есть 2 см.

Ответ: Длина отрезка CD в равносторонних треугольниках ABC и ABD составляет 2 см.

б) Чтобы решить задачу, сначала найдем длину проекции медианы треугольника ABC, проведенной из вершины C на плоскость α.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Поскольку треугольник ABC - правильный треугольник, медиана является высотой и делит стороны на две равные части.

Таким образом, медиана треугольника ABC делит сторону BC (или сторону AC) пополам.

Длина стороны BC равна 3 см, поэтому длина медианы будет равна половине длины стороны BC, то есть 3/2 = 1.5 см.

Теперь перейдем ко второй части задачи, чтобы найти расстояние от точки C до плоскости α.

Как известно, угол между плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости, равен 90°.

Более того, угол между плоскостью ABC и плоскостью α равен 30°.

Таким образом, плоскость α параллельна одному из боковых ребер треугольника ABC.

Следовательно, расстояние от точки C до плоскости α равно расстоянию между точкой C и параллельной ей стороной треугольника ABC.

Для нахождения этого расстояния, нам понадобится высота треугольника ABC.

Известно, что в равностороннем треугольнике высота является отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Таким образом, высота треугольника ABC будет равна отрезку, соединяющему вершину треугольника с серединой стороны BC.

Середина стороны BC будет границей плоскости α и высоты треугольника ABC.

Поскольку треугольник ABC - равносторонний, середина стороны BC также является серединой высоты треугольника.

Теперь у нас есть равнобедренный треугольник, где известны две стороны и угол между ними (30°).

Таким образом, мы можем применить формулу для высоты равнобедренного треугольника:

\[h = a \cdot \sin(\angle BAC) = 1.5 \cdot \sin(30°) = 0.75\]

Таким образом, длина проекции медианы треугольника ABC, проведенной из вершины C на плоскость α, равна 0.75 см.

Расстояние от точки C до плоскости α равно длине высоты треугольника ABC, которая также равна 0.75 см.

Ответ: а) Длина проекции медианы треугольника ABC, проведенной из вершины C на плоскость α, составляет 0.75 см. б) Расстояние от точки C до плоскости α также составляет 0.75 см.