1. Нарисуйте ромб ABCD. Постройте изображение этого ромба при: а) симметрии относительно точки С; б) симметрии

1. Решение задачи:
а) Чтобы построить изображение ромба при симметрии относительно точки С, проведем прямые, соединяющие каждую вершину ромба с точкой С. Затем, продолжим эти прямые на равное расстояние от точки С, чтобы получить соответствующие отрезки. Таким образом, получим ромб C"S"B"A".

б) Для построения изображения ромба при симметрии относительно прямой АВ, проведем прямую, перпендикулярную прямой АВ, проходящую через точку А. Затем, отразим каждую из вершин ромба относительно этой прямой. При этом, получим ромб A"D"C"B".

в) Чтобы построить изображение ромба при параллельном переносе на вектор АС, сдвинем каждую вершину ромба на вектор АС. Получим ромб A"C"D"B".

г) Для построения изображения ромба при повороте вокруг точки D на 60° по часовой стрелке, проведем прямые, соединяющие каждую вершину ромба с точкой D. Затем, повернем каждую из вершин ромба на 60° по часовой стрелке относительно точки D. Получим ромб D"E"F"G".

2. Доказательство:
Пусть О - центр окружности, АВ - ее диаметр, М - середина хорды АС, Н - середина хорды ВС.

Так как М - середина хорды АС, то МО - радиус окружности. Следовательно, МА = МС = МО.

Аналогично, так как Н - середина хорды ВС, то НО = НВ = НС.

Поскольку в треугольнике МОА все стороны равны, то он является равносторонним. Таким образом, угол МОА равен 60°.

Аналогично, в треугольнике НОВ все стороны равны, поэтому он тоже равносторонний и угол НОВ равен 60°.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, имеем: угол МОН = 180° - угол МОА - угол НОВ = 180° - 60° - 60° = 60°.

Таким образом, в треугольнике МОН имеем два равных угла, следовательно, треугольник является равнобедренным.

Поскольку прямая МН проходит через середины двух равнобедренных треугольников (МОА и НОВ), то она также проходит через их общий центр О.

Таким образом, прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд окружности, пересекается с ее центром.

3. Решение:
Для построения двух отрезков, которые параллельны и имеют равную длину, нарисуем две параллельные прямые и откладывем на каждой из них отрезки равной длины.

Затем, чтобы найти точку, которая будет центром симметрии, при которой один отрезок отображается на другой, проведем прямую, перпендикулярную прямой-основе, проходящую через середину одного из отрезков. Получим точку симметрии.

Таким образом, нарисованы два параллельных отрезка равной длины и точка симметрии, которая преобразует один отрезок в другой.