1) Напишите все пары граней, которые перпендикулярны друг другу, на кубе ABCDA1B1C1. 2) Определите значение угла между

Хорошо. Решим каждую задачу по порядку.

1) Чтобы найти все пары граней, которые перпендикулярны друг другу на кубе ABCDA1B1C1, нужно знать, какие грани у куба пересекаются.

У куба есть шесть граней: ABDC, A1B1D1C1, ABCA1, BCDA1, B1D1C1B, и ABD1C1. Для каждой грани найдем грани, с которыми она пересекается под прямым углом:

- Грань ABDC: перпендикулярные грани - A1B1D1C1, ABCA1, BCDA1.
- Грань A1B1D1C1: перпендикулярные грани - ABDC, ABCA1, B1D1C1B.
- Грань ABCA1: перпендикулярные грани - ABDC, A1B1D1C1, B1D1C1B.
- Грань BCDA1: перпендикулярные грани - ABDC, A1B1D1C1, B1D1C1B.
- Грань B1D1C1B: перпендикулярные грани - A1B1D1C1, ABCA1, BCDA1.
- Грань ABD1C1: перпендикулярные грани - ABDC, ABCA1, B1D1C1B.

Таким образом, все пары граней, которые перпендикулярны друг другу на кубе ABCDA1B1C1, это:
1) ABDC и A1B1D1C1, ABCA1, BCDA1.
2) A1B1D1C1 и ABDC, ABCA1, B1D1C1B.
3) ABCA1 и ABDC, A1B1D1C1, B1D1C1B.
4) BCDA1 и ABDC, A1B1D1C1, B1D1C1B.
5) B1D1C1B и A1B1D1C1, ABCA1, BCDA1.
6) ABD1C1 и ABDC, ABCA1, B1D1C1B.

2) Чтобы найти значение угла между прямой АВ и плоскостью АСС1А1, нужно воспользоваться формулой Коши-Буняковского для нахождения угла между векторами.

Вектором прямой АВ будет \(\overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\), а вектор плоскости АСС1А1 можно найти как векторное произведение \(\overrightarrow{v_2} = (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) \times (\overrightarrow{C1} - \overrightarrow{A})\).

Теперь вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{v_2}\) и длины векторов \(\overrightarrow{v_1}\) и \(\overrightarrow{v_2}\):

\(\overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{v_2} = |\overrightarrow{v_1}| \cdot |\overrightarrow{v_2}| \cdot \cos{\theta}\),

где \(\theta\) - искомый угол.

Таким образом, значение угла \(\theta\) можно найти по формуле:

\(\theta = \arccos{\left(\frac{\overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{v_2}}{|\overrightarrow{v_1}| \cdot |\overrightarrow{v_2}|}\right)}\).

3) Чтобы вычислить угол между плоскостью АСС1А1 и плоскостью АВВ1А1, можно воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя плоскостями, зная их нормали.

Нормаль плоскости АСС1А1 можно найти как векторное произведение двух её сторон: \(\overrightarrow{n_1} = (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) \times (\overrightarrow{C1} - \overrightarrow{A})\),

а нормаль плоскости АВВ1А1 как векторное произведение двух её сторон: \(\overrightarrow{n_2} = (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) \times (\overrightarrow{B1} - \overrightarrow{A})\).

Затем применяем формулу для нахождение угла между векторами:

\(\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}\).

\(\theta\) - искомый угол.

4) Чтобы доказать, что плоскости АСС1А1 и BDD1B1 взаимно перпендикулярны, нужно показать, что вектор нормали одной плоскости перпендикулярен вектору нормали другой плоскости.

Нормаль плоскости АСС1А1 мы уже вычислили в предыдущей задаче: \(\overrightarrow{n_1} = (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) \times (\overrightarrow{C1} - \overrightarrow{A})\).

Нормаль плоскости BDD1B1 можно найти также как векторное произведение двух её сторон: \(\overrightarrow{n_2} = (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}) \times (\overrightarrow{D1} - \overrightarrow{B})\).

Далее проверяем условие перпендикулярности: \(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0\).

Если это равенство выполнено, то плоскости АСС1А1 и BDD1B1 взаимно перпендикулярны.