1) На сколько увеличится объем конуса, если увеличить радиус основания в 14 раз? 2) Если объем цилиндра равен 114

1) Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для объема конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\), где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - число пи, \(r\) - радиус основания конуса и \(h\) - высота конуса.

По условию задачи, нужно увеличить радиус основания в 14 раз. Пусть исходный радиус равен \(r_1\), тогда новый радиус будет \(r_2 = 14 \cdot r_1\).

Объем исходного конуса равен \(V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h\), а нового конуса - \(V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h\).

Чтобы найти, на сколько увеличится объем конуса, нам нужно найти разность \(V_2 - V_1\).

Подставим значение \(r_2\) и \(r_1\) в формулы для объема и упростим выражение:

\[V_2 - V_1 = \frac{1}{3} \pi (r_2^2 h - r_1^2 h) = \frac{1}{3} \pi h (196r_1^2 - r_1^2) = \frac{1}{3} \pi h (195r_1^2)\]

Таким образом, объем конуса увеличится в 195 раз, если увеличить радиус основания в 14 раз.

2) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема цилиндра: \(V_{\text{цил}} = \pi r^2 h\), где \(V_{\text{цил}}\) - объем цилиндра, \(r\) - радиус основания цилиндра и \(h\) - высота цилиндра.

Также нам дан объем цилиндра равный 114. Пусть исходный радиус цилиндра равен \(r_{\text{цил}}\) и исходный объем конуса равен \(V_{\text{кон}}\).

По условию задачи, у нас есть конус с общим основанием и высотой, что означает, что его объем равен объему цилиндра, то есть \(V_{\text{кон}} = V_{\text{цил}}\).

Подставим значения в формулы для объема и получим уравнение:

\[\pi r_{\text{кон}}^2 h_{\text{кон}} = \pi r_{\text{цил}}^2 h_{\text{цил}}\]

Мы также знаем, что высота конуса равна высоте цилиндра, поэтому \(h_{\text{кон}} = h_{\text{цил}}\).

Таким образом, чтобы найти объем конуса, мы должны знать радиус и высоту цилиндра.

3) Чтобы определить объем правильной четырехугольной пирамиды с заданной высотой и боковым ребром, используем формулу для объема пирамиды: \(V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{пир}}\), где \(V_{\text{пир}}\) - объем пирамиды, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды и \(h_{\text{пир}}\) - высота пирамиды.

Для правильной четырехугольной пирамиды все боковые грани равны, поэтому площадь основания пирамиды можно найти как площадь квадрата со стороной, равной боковому ребру.

Таким образом, объем пирамиды можно вычислить по формуле \(V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} a^2 \cdot h_{\text{пир}}\), где \(a\) - длина бокового ребра пирамиды.

Подставим численные значения с высотой 3 и боковым ребром a в формулу объема пирамиды для получения ответа. Необходимо заметить, что для решения этой задачи нам нужны конкретные численные значения высоты и бокового ребра пирамиды.