1. На основе данных точек, А (3; -2), В (-1; 0), С (3; 2), создайте четыре разных чертежа: a) Перестройте треугольник

Хорошо! Давайте начнем с задачи a).

a) Для того чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно точки D(1; -1), будем использовать следующий алгоритм:

1. Найдем среднюю точку между точками A и D. Для этого нужно сложить x-координаты и y-координаты обеих точек, а затем разделить полученные суммы на 2. Полученные значения будут координатами точки E. Вычислим:
\[
x_E = \frac{{x_A + x_D}}{2} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2
\]
\[
y_E = \frac{{y_A + y_D}}{2} = \frac{{-2 + (-1)}}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5
\]

2. Затем найдем расстояние между точками A и D, и разделим его пополам. Полученное значение будет длиной отрезка ED. Используем формулу расстояния между двумя точками:
\[
d_{AD} = \sqrt{{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2}}
\]
\[
d_{ED} = \frac{{d_{AD}}}{2} = \frac{{\sqrt{{(1 - 3)^2 + ((-1) - (-2))^2}}}}{2} = \frac{{\sqrt{2}}}{2}
\]

3. Теперь мы знаем, что точка D(1; -1) и точка E(2; -1.5) являются основаниями равнобедренного треугольника DEH, где H - вершина треугольника. Так как треугольник ABC равнобедренный, то вершина H совпадает с вершиной треугольника ABC, а сторона DH является нормалью к основанию треугольника ABC (поскольку треугольник ABC симметричен относительно точки D).

4. Найдем вектор, идущий от точки D до точки E (вектор DE):
\[
\vec{DE} = (2 - 1, -1.5 - (-1)) = (1, -0.5)
\]

5. Найдем вектор, перпендикулярный вектору DE. Для этого просто поменяем знаки координат и поменяем местами эти координаты. Получим вектор \(\vec{DH}\):
\[
\vec{DH} = (-0.5, -1)
\]

6. Чтобы найти точку H, прибавим вектор \(\vec{DH}\) к координатам точки D:
\[
x_H = x_D + \vec{DH}_x = 1 + (-0.5) = 0.5
\]
\[
y_H = y_D + \vec{DH}_y = -1 + (-1) = -2
\]

Таким образом, мы получаем, что точка H(0.5; -2) является вершиной равнобедренного треугольника DEH, а треугольник ABC, симметричный относительно точки D(1; -1), будет иметь вершину H(0.5; -2).

Этот чертеж будет выглядеть следующим образом:

plaintext

    A(3; -2)   D(1; -1)   H(0.5; -2)       A(3; -2)

         |         |           |               |

         |         |           |               |

---------D------E-------H------D---------   

         |         |           |               |

         |         |           |               |

    C(3; 2)   B(-1; 0)   C(3; 2)        B(-1; 0)