1. На какую цифру заканчивается результат умножения всех нечетных чисел от 1 до 1001, выполненного мистером Фоксом?

1. Для решения этой задачи нам необходимо перемножить все нечетные числа от 1 до 1001. Давайте начнем:

У нас есть первые несколько нечетных чисел: 1, 3, 5, 7 и т.д. Мы замечаем, что у каждого нечетного числа последняя цифра повторяется в цикле, а именно: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 и так далее.

Теперь мы видим, что наше выражение включает все эти последние цифры. Когда мы перемножаем все нечетные числа от 1 до 1001, мы на самом деле перемножаем их последние цифры.

Рассмотрим случай, когда в произведении участвуют множители, оканчивающиеся на 1. Первое число, оканчивающееся на 1, это 1. Второе число, оканчивающееся на 1, это 21. Третье число, оканчивающееся на 1, это 41, и так далее. Видим, что каждое следующее число, оканчивающееся на 1, имеет шаг 20 от предыдущего числа.

Аналогично, рассмотрим случай, когда в произведении участвуют множители, оканчивающиеся на 3. Первое число, оканчивающееся на 3, это 3. Второе число, оканчивающееся на 3, это 23. Третье число, оканчивающееся на 3, это 43, и так далее. Каждое следующее число, оканчивающееся на 3, имеет шаг 20 от предыдущего числа.

Подобным образом мы можем продолжить этот анализ и для других последних цифр (5, 7 и 9). В каждом случае мы видим, что шаг между множителями равен 20.

Теперь, когда мы знаем шаг между множителями для каждой последней цифры, мы можем определить количество множителей для каждой последней цифры.

- Множители, оканчивающиеся на 1: 1, 21, 41, ..., 981 (950 чисел)
- Множители, оканчивающиеся на 3: 3, 23, 43, ..., 983 (950 чисел)
- Множители, оканчивающиеся на 5: 5, 25, 45, ..., 985 (950 чисел)
- Множители, оканчивающиеся на 7: 7, 27, 47, ..., 987 (950 чисел)
- Множители, оканчивающиеся на 9: 9, 29, 49, ..., 989 (950 чисел)

Теперь давайте рассмотрим, какое число получится при перемножении множителей каждой последней цифры:

1. При перемножении множителей, оканчивающихся на 1, мы получим число, оканчивающееся на 1.
2. При перемножении множителей, оканчивающихся на 3, мы получим число, оканчивающееся на 7.
3. При перемножении множителей, оканчивающихся на 5, мы получим число, оканчивающееся на 5.
4. При перемножении множителей, оканчивающихся на 7, мы получим число, оканчивающееся на 3.
5. При перемножении множителей, оканчивающихся на 9, мы получим число, оканчивающееся на 9.

Итак, у нас есть пять чисел, и каждое оканчивается на определенную цифру. Теперь мы можем перемножить эти числа, чтобы найти результат:

\(1 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 9 = 945\)

Ответ: результат умножения всех нечетных чисел от 1 до 1001, выполненного мистером Фоксом, оканчивается на цифру 5.

2. Чтобы найти конечную цифру получившегося числа после перемножения всех нечетных чисел от 1 до 1001, мы можем использовать остатки от деления на 10. Остаток от деления числа на 10 - это его последняя цифра.

Вычислим остатки от деления каждого из пяти чисел (1, 7, 5, 3, 9) на 10:

\(1 \% 10 = 1\)
\(7 \% 10 = 7\)
\(5 \% 10 = 5\)
\(3 \% 10 = 3\)
\(9 \% 10 = 9\)

Теперь перемножим полученные остатки:

\(1 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 9 = 945\)

Итак, последняя цифра получившегося числа равна 5.

Ответ: конечная цифра получившегося числа после перемножения всех нечетных чисел от 1 до 1001, сделанного мистером Фоксом, равна 5.