1. На какой высоте над поверхностью Земли находится спутник, если его период обращения составляет 1 час 40 минут

1. Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы Ньютона о гравитации и второго закона Кеплера о законах движения планет. Давайте начнем!

Согласно второму закону Кеплера, период обращения спутника зависит от его высоты над поверхностью Земли и радиуса Земли. Мы можем использовать следующую формулу для вычисления этой зависимости:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\]

где:
- \(T\) - период обращения спутника,
- \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14,
- \(R\) - расстояние от центра Земли до спутника (включая радиус Земли),
- \(g\) - ускорение свободного падения на поверхности Земли.

Учитывая, что период обращения спутника составляет 1 час 40 минут 47 секунд, мы можем перевести это значение в секунды:

\[T = 1 \times 60 \times 60 + 40 \times 60 + 47 = 6047 \text{ секунд}\]

Следующим шагом будет вычисление ускорения свободного падения \(g\) на поверхности Земли, используя закон гравитации Ньютона:

\[g = \frac{G \cdot M}{R^2}\]

где:
- \(G\) - гравитационная постоянная, примерно равная \(6.67 \times 10^{-11}\) м\(^3\)/(кг \cdot с\(^2\)),
- \(M\) - масса Земли.

Подставляя указанные значения, мы можем вычислить ускорение свободного падения:

\[g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{(6400 \times 1000)^2} = 9.8 \, \text{м/с}^2\]

Теперь мы можем вставить значения \(T\) и \(g\) в формулу для периода обращения и решить ее относительно \(R\):

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\]

\[6047 = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{R}{9.8}}\]

Для удобства решения поделим обе части уравнения на 2 \(\pi\):

\[967.35 = \sqrt{\frac{R}{9.8}}\]

Найдем квадрат обоих частей уравнения:

\[938460.4225 = \frac{R}{9.8}\]

Для получения \(R\) умножим обе части уравнения на 9.8:

\[R = 938460.4225 \times 9.8 = 9.19 \times 10^6\]

Ответ: спутник находится на высоте приблизительно 9.19 миллионов метров над поверхностью Земли.

2. Теперь рассмотрим изменение радиуса орбиты и периода обращения спутника после маневра изменения скорости.

Согласно закону сохранения момента импульса, изменение скорости спутника приведет к изменению его радиуса орбиты. Более подробно, мы можем использовать следующую формулу:

\[v_1 \cdot r_1 = v_2 \cdot r_2\]

где:
- \(v_1\) и \(v_2\) - исходная и конечная скорости спутника соответственно,
- \(r_1\) и \(r_2\) - исходный и конечный радиусы орбиты спутника соответственно.

По условию задачи, исходная скорость спутника составляет 6 километров в секунду (\(v_1 = 6 \, \text{км/с}\)), а конечная скорость составляет 5 километров в секунду (\(v_2 = 5 \, \text{км/с}\)).

Поскольку мы рассматриваем только смену скорости, радиус орбиты будет повторно использоваться, то есть \(r_1 = r_2 = R\) (исходный и конечный радиус совпадают).

Теперь мы можем подставить значения в формулу и решить ее относительно отношения \(r_2\) к \(r_1\):

\[6 \times 10^3 \times R = 5 \times 10^3 \times R\]

Делим обе части уравнения на \(5000R\) для удобства:

\[6 = 5 \times \frac{R}{R}\]

\[6 = 5\]

Выясняем, что это невозможно. Следовательно, в условии задачи возникла ошибка или упущение.