1. На каком месте следует поместить экран, чтобы на нём видеть чёткое изображение предмета, если линзу с оптической

1. Чтобы получить чёткое изображение предмета на экране в данной ситуации, нужно поместить экран на фокусное расстояние линзы.

Обоснование:
Как известно, для тонкой линзы с оптической силой \(D\) и фокусным расстоянием \(f\) справедливо следующее соотношение:

\[D = \frac{1}{f}\]

Зная оптическую силу линзы (\(D = 2,5\) дптр) и расстояние до предмета (\(d = 0,5\) м), мы можем определить фокусное расстояние:

\[f = \frac{1}{D} = \frac{1}{2,5} = 0,4 \ м\]

Таким образом, экран следует поместить на расстоянии 0,4 м от линзы (на фокусное расстояние линзы), чтобы получить чёткое изображение предмета.

2. Чтобы определить высоту изображения предмета, находящегося на расстоянии \(d\) от тонкой собирающей линзы с оптической силой \(D\), мы можем использовать формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{f} = (D-1)\left(\frac{1}{d_o} - \frac{1}{d_i}\right)\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы,
\(d_o\) - расстояние от предмета до линзы,
\(d_i\) - расстояние от изображения до линзы.

Для данной задачи, \(d_o = 40 \ см\) и \(D = 4 \ дптр\), нам нужно найти \(d_i\) и \(h_i\), высоту изображения.

Обоснование:
Мы знаем, что предмет высотой \(h_o = 3 \ см\) находится на расстоянии \(d_o = 40 \ см\) от линзы. Также известно, что оптическая сила линзы \(D = 4 \ дптр\).

Используя формулу тонкой линзы и замену \(h_o = 3 \ см\) и \(d_i\) на \(h_i\) и \(d_o\) соответственно, мы можем выразить \(h_i\) следующим образом:

\[\frac{1}{f} = (D-1)\left(\frac{1}{d_o} - \frac{1}{d_i}\right)\]

\[\frac{1}{f} = (D-1)\left(\frac{1}{d_o} - \frac{1}{d_o - h_i}\right)\]

Раскрыв скобки и решив уравнение, мы найдем значение \(h_i\).

3. Чтобы создать изображение отрезка \(AB\) перед собирающей линзой таким образом, что расстояние от предмета до линзы \(d\) равняется \(2F\), где \(F\) - фокусное расстояние линзы, нужно поместить предмет на расстоянии фокусного расстояния линзы перед ней.

Обоснование:
Для тонкой линзы расстояние между предметом и линзой (\(d\)) связано с фокусным расстоянием (\(F\)) следующим соотношением:

\[\frac{1}{f} = (D-1)\left(\frac{1}{d_o} - \frac{1}{d_i}\right)\]

В данном случае, \(d = 2F\), то есть расстояние от предмета до линзы равно удвоенному фокусному расстоянию линзы. Подставив \(d = 2F\) в уравнение, мы найдем расстояние \(d_o\) и \(d_i\), а затем сможем создать изображение отрезка \(AB\).