1) На двух окружностях с общим центром и разными радиусами (2 см и 4 см) расположены точки A и B соответственно. Угол

Итак, начнем с первой задачи.

1) Для решения этой задачи построим вспомогательные линии и воспользуемся свойством радиусов и углов в окружности.

Пусть отрезок AC является радиусом окружности с радиусом 2 см и отрезок BC является радиусом окружности с радиусом 4 см. Точка O - центр окружностей.

Так как угол АОВ равен 60°, то угол АСО также равен 60° (так как это равнобедренный треугольник). Также угол ВСО равен 60°.

Зная угол АСО, мы можем найти длину дуги AC с помощью формулы дуги:

\[L = r \cdot \alpha,\]

где L - длина дуги, r - радиус окружности, а \(\alpha\) - центральный угол в радианах.

Для окружности радиусом 2 см имеем:

\[L_1 = 2 \cdot \pi \cdot \frac{60}{360} = \frac{\pi}{3} \approx 1.05 \, \text{см}.\]

Для окружности радиусом 4 см имеем:

\[L_2 = 4 \cdot \pi \cdot \frac{60}{360} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \, \text{см}.\]

Теперь, чтобы найти расстояние между точками A и B, нам нужно найти длину дуги AB. Для этого вычтем длину дуги AC из длины дуги BC:

\[L_{AB} = L_2 - L_1 = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \approx 1.05 \, \text{см}.\]

Таким образом, расстояние между точками A и B составляет приблизительно 1.05 см.

Перейдем ко второй задаче.

2) Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для периода колебаний механической системы, связанной с окружностным движением:

\[T = \frac{2\pi}{\omega},\]

где T - период колебаний, \(\omega\) - угловая скорость объекта.

У нас есть два мотылька с разными периодами движения. Обозначим периоды большего и маленького мотылька как T1 и T2 соответственно.

Так как период движения большого мотылька равен 9 секундам, то угловая скорость большого мотылька равна:

\[\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{9} \approx 0.70 \, \text{рад/с}.\]

Аналогично, угловая скорость маленького мотылька:

\[\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{4} = \pi \, \text{рад/с}.\]

Теперь у нас есть угловые скорости движения мотыльков. Поскольку период обратно пропорционален угловой скорости,

наша задача состоит в поиске соотношения радиусов "орбит" мотыльков. Пусть радиус большего мотылька равен R, тогда радиус маленького мотылька равен \(R/2\).

Используя соотношение между угловой скоростью и радиусом окружности \(\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{R}{R/2} = 2,\)

получим:

\[2 = \frac{R}{R/2} \Rightarrow R = 2 \cdot \frac{R}{2} = R.\]

Таким образом, радиус большего мотылька равен 2, а радиус маленького мотылька равен 1.

Надеюсь, ответы были понятны и помогли вам в решении задач.