1) На двух окружностях с общим центром и разными радиусами (2 см и 4 см) расположены точки A и B соответственно. Угол

Итак, начнем с первой задачи.

1) Для решения этой задачи построим вспомогательные линии и воспользуемся свойством радиусов и углов в окружности.

Пусть отрезок AC является радиусом окружности с радиусом 2 см и отрезок BC является радиусом окружности с радиусом 4 см. Точка O - центр окружностей.

Так как угол АОВ равен 60°, то угол АСО также равен 60° (так как это равнобедренный треугольник). Также угол ВСО равен 60°.

Зная угол АСО, мы можем найти длину дуги AC с помощью формулы дуги:

$$L=r\cdot \alpha ,$$

где L - длина дуги, r - радиус окружности, а $\alpha$ - центральный угол в радианах.

Для окружности радиусом 2 см имеем:

$$L_1=2\cdot \pi \cdot \frac{60}{360}=\frac{\pi }{3}\approx 1.05\text{см}.$$

Для окружности радиусом 4 см имеем:

$$L_2=4\cdot \pi \cdot \frac{60}{360}=\frac{2\pi }{3}\approx 2.09\text{см}.$$

Теперь, чтобы найти расстояние между точками A и B, нам нужно найти длину дуги AB. Для этого вычтем длину дуги AC из длины дуги BC:

$$L_{AB}=L_2-L_1=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}\approx 1.05\text{см}.$$

Таким образом, расстояние между точками A и B составляет приблизительно 1.05 см.

Перейдем ко второй задаче.

2) Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для периода колебаний механической системы, связанной с окружностным движением:

$$T=\frac{2\pi }{\omega },$$

где T - период колебаний, $\omega$ - угловая скорость объекта.

У нас есть два мотылька с разными периодами движения. Обозначим периоды большего и маленького мотылька как T1 и T2 соответственно.

Так как период движения большого мотылька равен 9 секундам, то угловая скорость большого мотылька равна:

$${\omega }_1=\frac{2\pi }{T_1}=\frac{2\pi }{9}\approx 0.70\text{рад/с}.$$

Аналогично, угловая скорость маленького мотылька:

$${\omega }_2=\frac{2\pi }{T_2}=\frac{2\pi }{4}=\pi \text{рад/с}.$$

Теперь у нас есть угловые скорости движения мотыльков. Поскольку период обратно пропорционален угловой скорости,

наша задача состоит в поиске соотношения радиусов "орбит" мотыльков. Пусть радиус большего мотылька равен R, тогда радиус маленького мотылька равен $R/2$.

Используя соотношение между угловой скоростью и радиусом окружности $\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}=\frac{R}{R/2}=2,$

получим:

$$2=\frac{R}{R/2}\Rightarrow R=2\cdot \frac{R}{2}=R.$$

Таким образом, радиус большего мотылька равен 2, а радиус маленького мотылька равен 1.

Надеюсь, ответы были понятны и помогли вам в решении задач.