1) На чертеже прямоугольного параллелепипеда с основаниями 2 м и √5м, а высотой 3 м, найдите: а) длину диагонали

Для решения первой задачи, давайте найдем длину диагонали параллелепипеда. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

Пусть длина, ширина и высота параллелепипеда равны соответственно \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда по теореме Пифагора длина диагонали \(d\) может быть найдена по формуле:

\[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]

В данной задаче, длина \(a\) равна 2 м, ширина \(b\) равна \(\sqrt{5}\) м, а высота \(c\) равна 3 м. Подставим значения в формулу и рассчитаем длину диагонали по шагам:

\[d = \sqrt{(2\,м)^2 + (\sqrt{5}\,м)^2 + (3\,м)^2} = \sqrt{4\,м^2 + 5\,м + 9\,м^2} = \sqrt{18\,м^2 + 5\,м} = \sqrt{23\,м^2} = 23\,м\]

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда равна 23 метрам.

Теперь перейдем ко второй части первой задачи. Найдем угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.

Для этого воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}}\]

где \(\theta\) - угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) - скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) - длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

В данной задаче, диагональ параллелепипеда является вектором \(\mathbf{a}\), а плоскость основания - вектором \(\mathbf{b}\). Найдем значение скалярного произведения и длин векторов:

\[\mathbf{a} = 23\,м, \quad \mathbf{b} = 2\,м \times \sqrt{5}\,м = 2\sqrt{5}\,м\]

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 23\,м \times 2\sqrt{5}\,м = 46\sqrt{5}\,м^2\]

\[|\mathbf{a}| = 23\,м, \quad |\mathbf{b}| = 2\sqrt{5}\,м\]

Подставим значения в формулу и вычислим значение угла \(\theta\) по шагам:

\[\cos(\theta) = \frac{{46\sqrt{5}\,м^2}}{{23\,м \times 2\sqrt{5}\,м}} = \frac{{46\sqrt{5}\,м^2}}{{46\sqrt{5} \, м^2}} = 1\]

Таким образом, \(\theta = \cos^{-1}(1) = 0^\circ\)

Ответ: а) Длина диагонали параллелепипеда равна 23 метрам. б) Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен \(0^\circ\).

Перейдем ко второй задаче. Для ее решения, воспользуемся формулой для объема параллелепипеда:

\[V = a \times b \times c\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины ребер параллелепипеда.

Дано, что одна диагональ параллелепипеда равна 13, а длины ребер, исходящих из одной вершины, равны 7 и \(\sqrt{39}\). Предположим, что \(a = 7\), \(b = \sqrt{39}\) и \(c\) - искомая длина ребра. Тогда длина другой диагонали параллелепипеда также равна 13.

По теореме Пифагора, можно записать следующее уравнение:

\[13^2 = (a^2 + b^2) + c^2\]

Подставим значения и рассчитаем длину ребра \(c\) по шагам:

\[169 = (7^2 + \sqrt{39}^2) + c^2\]
\[169 = 49 + 39 + c^2\]
\[c^2 = 81\]
\[c = 9\]

Таким образом, длины ребер параллелепипеда равны 7, \(\sqrt{39}\) и 9. Подставим значения в формулу для объема и рассчитаем его по шагам:

\[V = 7 \times \sqrt{39} \times 9 = 63\sqrt{39}\]

Ответ: Объем параллелепипеда равен \(63\sqrt{39}\) кубических единиц.

Перейдем к решению третьей задачи. Для этого, давайте найдем площадь проекции треугольника на плоскость у.

Площадь проекции треугольника равна площади самого треугольника, так как проекция не изменяет форму треугольника, а только его положение.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \times AB \times AC\]

В данной задаче, катеты прямоугольного треугольника равны АС = 15 дм и АВ = 8 дм.

Подставим значения в формулу и рассчитаем площадь треугольника по шагам:

\[S = \frac{1}{2} \times 15\,дм \times 8\,дм = 60\,дм^2\]

Таким образом, площадь проекции треугольника на плоскость у равна 60 квадратным дециметрам.

Ответ: Площадь проекции треугольника на плоскость у равна 60 квадратным дециметрам.