1. Можно ли утверждать, что периметры двух прямоугольников равны, если их площади совпадают? 2. Верно ли, что если

1. Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим два прямоугольника с одинаковой площадью. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины \(a\) и ширины \(b\): \(P = a \times b\). Пусть первый прямоугольник имеет длину \(a_1\) и ширину \(b_1\), а второй - длину \(a_2\) и ширину \(b_2\). Известно, что \(a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2\), то есть площади прямоугольников равны.

Теперь рассмотрим периметры прямоугольников. Периметр прямоугольника определяется как сумма всех его сторон: \(P = 2a + 2b\). Давайте выразим каждую сторону через длину и ширину прямоугольника: для первого прямоугольника \(a_1 = \frac{P_1}{2} - b_1\) и \(b_1 = \frac{P_1}{2} - a_1\), а для второго прямоугольника \(a_2 = \frac{P_2}{2} - b_2\) и \(b_2 = \frac{P_2}{2} - a_2\), где \(P_1\) и \(P_2\) - периметры первого и второго прямоугольников соответственно.

Теперь предположим, что периметры прямоугольников равны: \(P_1 = P_2\). Подставим значения сторон в уравнения периметра и получим:

\[
\frac{P_1}{2} - b_1 + \frac{P_1}{2} - a_1 = \frac{P_2}{2} - b_2 + \frac{P_2}{2} - a_2
\]

Мы знаем, что \(a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2\), поэтому заменим \(a_2 \times b_2\) на \(a_1 \times b_1\):

\[
\frac{P_1}{2} - b_1 + \frac{P_1}{2} - a_1 = \frac{P_2}{2} - b_2 + \frac{P_2}{2} - a_2
\]

Теперь объединим похожие члены и упростим выражение:

\[
P_1 - b_1 - a_1 = P_2 - b_2 - a_2 \Rightarrow P_1 = P_2
\]

Таким образом, периметры прямоугольников будут равными, если их площади совпадают.

2. По аналогичной логике рассмотрим два квадрата с равными площадями. Площадь квадрата вычисляется как квадрат его стороны: \(S = a^2\), где \(a\) - длина стороны квадрата. Пусть первый квадрат имеет сторону \(a_1\), а второй - сторону \(a_2\). Известно, что \(a_1^2 = a_2^2\), то есть площади квадратов равны.

Теперь рассмотрим периметры квадратов. Периметр квадрата вычисляется как произведение длины стороны на 4: \(P = 4a\). Подставим значения сторон в уравнение периметра и получим:

\[
4a_1 = 4a_2 \Rightarrow a_1 = a_2
\]

Таким образом, если площади двух квадратов равны, то стороны этих квадратов также будут равными, и, следовательно, их периметры одинаковы.