1. Можно ли разделить оставшуюся часть шахматной доски, после того как отрезали две противоположные угловые клетки

Задача 1:
Мы можем разделить оставшуюся часть шахматной доски на костяшки домино двух разных цветов после отрезания двух противоположных угловых клеток. Давайте рассмотрим это пошагово:

Шаг 1: Удаляем две угловые клетки.
После удаления двух угловых клеток, у нас остается прямоугольник размером 6x8 клеток.

Шаг 2: Покрасим доску в шахматном порядке.
Чтобы лучше видеть, как расположены домино на доске, давайте покрасим каждую клетку в шахматном порядке: чередуя чёрные и белые цвета.

Шаг 3: Разместим домино.
Теперь мы можем разместить домино на оставшейся части доски. Поскольку у нас остается 48 клеток, а каждая костяшка домино занимает 2 клетки, то нам нужно разместить 24 костяшки домино.

Разместим домино последовательно в каждой строке доски:

1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 3 6 5 8 7
3 4 5 6 1 2 7 8
4 3 6 5 8 7 2 1
5 6 7 8 3 4 1 2
6 5 8 7 2 1 4 3

Чтобы убедиться, что мы можем разделить оставшуюся часть доски на костяшки домино двух разных цветов, можно обратить внимание, что каждая клетка имеет соседнюю клетку другого цвета, что указывает на возможность положения домино в различных комбинациях.

Получается, мы можем разделить оставшуюся часть шахматной доски на костяшки домино двух разных цветов.

Задача 2:
Невозможно разделить данный квадрат на четыре одинаковые части таким образом, чтобы каждая часть содержала одну зеленую и одну красную клетку.

Обратите внимание, что в данном квадрате мы имеем 8 зеленых и 8 красных клеток, и каждая из четырех равных частей должна содержать одну зеленую и одну красную клетку. Учитывая это, мы можем заметить, что невозможно разделить клетки таким образом, чтобы каждая из них содержала по одной зеленой и одной красной клетке, поскольку количество клеток одного цвета нечетное. В данном случае, как я упомянул ранее, у нас по 8 клеток зеленого и красного цветов, а нечетное число клеток одного цвета нельзя поделить поровну на четыре равные части.

Таким образом, разделить данный квадрат на четыре одинаковые части таким образом невозможно.