Какова максимальная высота треугольника, если его стороны равны 10 см, 17 см и 21 см, и каковы радиусы вписанной

Чтобы найти максимальную высоту треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника и знать, что высота треугольника является перпендикулярной линией из вершины треугольника к основанию, и она делит основание на две равные части. Решим задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем площадь треугольника, используя формулу герона. Формула герона гласит:
\[Площадь = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Полупериметр \(p\) вычисляется следующим образом:
\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашем случае, где \(a = 10\) см, \(b = 17\) см и \(c = 21\) см, мы можем вычислить:
\[p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24\]
Теперь, используя формулу площади треугольника, мы можем вычислить:
\[Площадь = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84\]

Таким образом, площадь треугольника составляет 84 квадратных сантиметра.

Шаг 2: Теперь найдем высоту треугольника. Мы знаем, что площадь треугольника равна полупроизведению основания и соответствующей высоты:
\[Площадь = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота}\]
Решим уравнение с неизвестной высотой:
\[84 = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота}\]

Так как мы знаем, что высота делит основание на две равные части, длина основания равна сумме длин двух отрезков основания. В нашем случае это 10 см и 10 см, то есть \(\text{Основание} = 20\) см.

Теперь мы можем решить уравнение:
\[84 = \frac{1}{2} \times 20 \times \text{Высота}\]
\[168 = 20 \times \text{Высота}\]
\[\text{Высота} = \frac{168}{20} = 8.4\]

Таким образом, максимальная высота треугольника равна 8.4 см.

Шаг 3: Наконец, найдем радиусы вписанной и описанной окружностей для данного треугольника.

Радиус вписанной окружности можно найти, используя формулу:
\[r_{\text{впис}} = \frac{{\text{Площадь}}}{{p}}\]
где \(r_{\text{впис}}\) - радиус вписанной окружности.

В нашем случае, где площадь треугольника равна 84 квадратных сантиметра, а полупериметр равен 24 сантиметрам, мы можем вычислить:
\[r_{\text{впис}} = \frac{{84}}{{24}} = 3.5\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 3.5 сантиметра.

Радиус описанной окружности можно найти, используя формулу:
\[r_{\text{опис}} = \frac{{abc}}{{4 \times \text{Площадь}}}\]
где \(r_{\text{опис}}\) - радиус описанной окружности.

В нашем случае, где \(a = 10\) см, \(b = 17\) см, \(c = 21\) см и площадь треугольника равна 84 квадратных сантиметра, мы можем вычислить:
\[r_{\text{опис}} = \frac{{10 \times 17 \times 21}}{{4 \times 84}} = \frac{{3570}}{{336}} \approx 10.625\]

Таким образом, радиус описанной окружности равен приближенно 10.625 сантиметра.

Ответ: Максимальная высота треугольника равна 8.4 см. Радиус вписанной окружности составляет 3.5 сантиметра, а радиус описанной окружности составляет приближенно 10.625 сантиметра.