1. Можно ли провести сферу через любые три точки? а) Нужно лишь гарантировать, что точки не лежат на одной прямой?

1. а) Действительно, чтобы провести сферу через любые три точки, достаточно только убедиться, что они не лежат на одной прямой. Это связано с тем, что три непринадлежащие одной прямой точки уникальным образом определяют плоскость. И сфера, центр которой лежит на этой плоскости и проходит через эти три точки, может быть проведена.

б) Интересно, что даже если три точки находятся на одной прямой, всё равно можно провести сферу через них. В этом случае можно использовать так называемую бесконечно удалённую точку, которую можно представить как точку, находящуюся на этой прямой, но на бесконечном расстоянии. Таким образом, получается, что даже если точки лежат на одной прямой, можно провести сферу через них.

в) Однако, проведение сферы через три точки имеет свои ограничения. Если все три точки лежат на одной прямой, то существует только одна сфера, которая проходит через эти точки. В этом случае сфера является тангентной к этой прямой, и радиус сферы равен половине расстояния между любыми двумя из трёх точек.

г) Нельзя ответить на этот вопрос с полной уверенностью, так как всё зависит от местоположения и взаимного расположения трёх точек.

2. а) Сфера и прямая могут иметь как две общие точки, так и одну, и даже не иметь ни одной общей точки.

б) Действительно, сфера и прямая могут иметь две общие точки. Это происходит в том случае, когда прямая пересекает сферу.

в) Также возможен вариант, когда сфера и прямая имеют только одну общую точку. Это происходит, когда прямая касается сферы.

г) Есть и такой случай, когда сфера и прямая не имеют ни одной общей точки. Например, если прямая находится вне сферы или параллельна ей.

Таким образом, количество общих точек у сферы и прямой может варьироваться и зависит от их взаимного расположения.