1. Какую скорость имеет теплоход и скорость течения реки, если расстояние между двумя туристическими базами по реке

1. Для решения этой задачи, давайте обозначим скорость теплохода как \( v_л \) и скорость течения реки как \( v_р \).
Если теплоход плывет по течению, то его скорость будет равна сумме скорости теплохода и скорости течения: \( v_л + v_р \).
Если же теплоход плывет против течения, то его скорость будет равна разности скорости теплохода и скорости течения: \( v_л - v_р \).
Дано, что теплоход проплывает расстояние 48 км по течению за 2 часа и против течения за 3 часа.

Рассмотрим движение теплохода по течению:
Расстояние \( S \) равно 48 км, а время \( t \) равно 2 часа.
Используя формулу скорости \( v = \frac{S}{t} \), найдем скорость теплохода по течению:
\[ v_л + v_р = \frac{S}{t} \Rightarrow v_л + v_р = \frac{48 \, \text{км}}{2 \, \text{ч}} = 24 \, \text{км/ч} \]

Теперь рассмотрим движение теплохода против течения:
Расстояние \( S \) равно 48 км, а время \( t \) равно 3 часа.
Используя формулу скорости \( v = \frac{S}{t} \), найдем скорость теплохода против течения:
\[ v_л - v_р = \frac{S}{t} \Rightarrow v_л - v_р = \frac{48 \, \text{км}}{3 \, \text{ч}} = 16 \, \text{км/ч} \]

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными:
\[
\begin{align*}
v_л + v_р &= 24 \, \text{км/ч} \\
v_л - v_р &= 16 \, \text{км/ч}
\end{align*}
\]

Для решения этой системы уравнений, сложим оба уравнения, чтобы избавиться от переменной \( v_р \):
\[
(v_л + v_р) + (v_л - v_р) = 24 \, \text{км/ч} + 16 \, \text{км/ч}
\]
Получаем:
\[
2v_л = 40 \, \text{км/ч} \Rightarrow v_л = 20 \, \text{км/ч}
\]

Теперь подставим найденное значение скорости теплохода в одно из исходных уравнений для определения скорости течения реки:
\[ v_л + v_р = 24 \, \text{км/ч} \Rightarrow 20 \, \text{км/ч} + v_р = 24 \, \text{км/ч} \]
Отсюда получаем:
\[ v_р = 24 \, \text{км/ч} - 20 \, \text{км/ч} = 4 \, \text{км/ч} \]

Итак, скорость теплохода равна 20 км/ч, а скорость течения реки равна 4 км/ч.

2. Для решения этой задачи, давайте обозначим скорость лодки как \( v_л \) и скорость течения реки как \( v_р \).
Если лодка плывет по течению, то ее скорость будет равна сумме скорости лодки и скорости течения: \( v_л + v_р \).
Если же лодка плывет против течения, то ее скорость будет равна разности скорости лодки и скорости течения: \( v_л - v_р \).
Дано, что лодка проплывает расстояние 140 км по течению за 5 часов, а против течения за 7 часов.

Рассмотрим движение лодки по течению:
Расстояние \( S \) равно 140 км, а время \( t \) равно 5 часов.
Используя формулу скорости \( v = \frac{S}{t} \), найдем скорость лодки по течению:
\[ v_л + v_р = \frac{S}{t} \Rightarrow v_л + v_р = \frac{140 \, \text{км}}{5 \, \text{ч}} = 28 \, \text{км/ч} \]

Теперь рассмотрим движение лодки против течения:
Расстояние \( S \) равно 140 км, а время \( t \) равно 7 часов.
Используя формулу скорости \( v = \frac{S}{t} \), найдем скорость лодки против течения:
\[ v_л - v_р = \frac{S}{t} \Rightarrow v_л - v_р = \frac{140 \, \text{км}}{7 \, \text{ч}} = 20 \, \text{км/ч} \]

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными:
\[
\begin{align*}
v_л + v_р &= 28 \, \text{км/ч} \\
v_л - v_р &= 20 \, \text{км/ч}
\end{align*}
\]

Для решения этой системы уравнений, сложим оба уравнения, чтобы избавиться от переменной \( v_р \):
\[
(v_л + v_р) + (v_л - v_р) = 28 \, \text{км/ч} + 20 \, \text{км/ч}
\]
Получаем:
\[
2v_л = 48 \, \text{км/ч} \Rightarrow v_л = 24 \, \text{км/ч}
\]

Теперь подставим найденное значение скорости лодки в одно из исходных уравнений для определения скорости течения реки:
\[ v_л + v_р = 28 \, \text{км/ч} \Rightarrow 24 \, \text{км/ч} + v_р = 28 \, \text{км/ч} \]
Отсюда получаем:
\[ v_р = 28 \, \text{км/ч} - 24 \, \text{км/ч} = 4 \, \text{км/ч} \]

Итак, скорость лодки равна 24 км/ч, а скорость течения реки равна 4 км/ч.