1. Какую массу и скорость должна иметь вторая тележка, чтобы после столкновения сцепленные тележки остановились?

1. Чтобы сцепленные тележки остановились после столкновения, необходимо, чтобы внешние силы на систему были равны нулю. Это означает, что сумма импульсов (произведений массы на скорость) тележек до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения.

Пусть масса первой тележки равна \(m_1\), а ее скорость перед столкновением равна \(v_1\). Масса второй тележки, которую мы хотим найти, обозначим как \(m_2\), а ее скорость перед столкновением будет \(v_2\).

Импульс первой тележки до столкновения: \(p_1 = m_1 \cdot v_1\)

Импульс второй тележки до столкновения: \(p_2 = m_2 \cdot v_2\)

Импульс системы до столкновения: \(p_{\text{до}} = p_1 + p_2\)

После столкновения сцепленные тележки останавливаются, поэтому импульс системы после столкновения равен нулю: \(p_{\text{после}} = 0\)

Таким образом, получаем уравнение:

\[p_{\text{до}} + p_{\text{после}} = 0\]
\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0\]

Данный уравнение позволяет нам выразить массу второй тележки:

\[m_2 = -\frac{m_1 \cdot v_1}{v_2}\]

2. Чтобы сцепленные тележки двигались в ту же сторону, что и первая тележка до столкновения, необходимо, чтобы сумма импульсов тележек после столкновения была равна импульсу первой тележки.

Импульс первой тележки: \(p_1 = m_1 \cdot v_1\)

Импульс системы после столкновения: \(p_{\text{после}} = (m_1 + m_2) \cdot v"\), где \(v"\) - скорость сцепленных тележек после столкновения

Таким образом, получаем уравнение:

\[p_{\text{после}} = p_1\]
\[(m_1 + m_2) \cdot v" = m_1 \cdot v_1\]

Данное уравнение позволяет нам выразить массу второй тележки:

\[m_2 = \frac{m_1 \cdot v_1}{v"} - m_1\]

3. Чтобы сцепленные тележки двигались в ту же сторону, что и вторая тележка до столкновения, необходимо, чтобы сумма импульсов тележек после столкновения была равна импульсу второй тележки.

Импульс второй тележки: \(p_2 = m_2 \cdot v_2\)

Импульс системы после столкновения: \(p_{\text{после}} = (m_1 + m_2) \cdot v"\), где \(v"\) - скорость сцепленных тележек после столкновения

Таким образом, получаем уравнение:

\[p_{\text{после}} = p_2\]
\[(m_1 + m_2) \cdot v" = m_2 \cdot v_2\]

Данное уравнение позволяет нам выразить массу второй тележки:

\[m_2 = \frac{(m_1 + m_2) \cdot v"}{v_2}\]