1. Какой угол равен углу при вершине равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 82 градуса? 2. Если

Для решения первой задачи нам необходимо использовать свойство равнобедренных треугольников. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и, следовательно, два равных угла, расположенных при основании. У нас есть информация о том, что угол при основании равна 82 градуса.

Так как у нас есть два равных угла в равнобедренном треугольнике, то их сумма будет равна 180 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов). Обозначим неизвестный угол при вершине равнобедренного треугольника как \(x\).

Тогда можно записать следующее уравнение для суммы углов равнобедренного треугольника:
\[82^\circ + x + x = 180^\circ\]

Решим это уравнение:
\[2x + 82^\circ = 180^\circ\]
\[2x = 180^\circ - 82^\circ\]
\[2x = 98^\circ\]
\[x = \frac{98^\circ}{2}\]
\[x = 49^\circ\]

Таким образом, угол при вершине равнобедренного треугольника равен 49 градусов.

Для второй задачи нам дано, что угол В равен 90 градусов, угол АВС равен 60 градусов, и отрезок СД является биссектрисой треугольника. Нам нужно найти длину катета АВ.

Сначала рассмотрим свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на две отрезка, пропорциональных смежным сторонам треугольника. Обозначим длину отрезка АД как \(x\).

Теперь мы можем использовать свойство биссектрисы и построить отрезок ДВ параллельно стороне АС. Так как у нас есть прямоугольный треугольник АВС, то отрезок ВД станет высотой этого треугольника.

Треугольник ВДС является подобным треугольнику ВАС, так как у них один общий угол (\(90^\circ\)) и углы ВДС и ВАС являются смежными углами. Таким образом, отношение длин сторон ВД к АВ будет равно отношению длин сторон ДС к СА:
\[\frac{VD}{AB} = \frac{DS}{AC}\]

Так как СД является биссектрисой треугольника, то отрезок СД делит сторону АС пополам - AC будет равно DS. Заменяем:
\[\frac{VD}{AB} = \frac{DS}{DS}\]
\[\frac{VD}{AB} = 1\]

Таким образом, отрезок ВД будет равен длине катета АВ. Мы знаем, что сторона ВД равна половине длины гипотенузы АС, так как треугольник ВАС - равносторонний. Обозначим длину катета АВ как \(y\).

Теперь мы можем записать уравнение:
\[\frac{y}{AB} = \frac{1}{2}\]
\[y = \frac{AB}{2}\]

Так как у нас есть прямоугольный треугольник ВАС со сторонами АВ и АС, то мы можем использовать теорему Пифагора:
\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

Так как у нас есть угол В равный 90 градусов, то БС является гипотенузой треугольника и его длина равна СА. Заменяем:
\[AB^2 = BC^2 + AB^2\]
\[BC^2 = 0\]

Это означает, что сторона ВС равна 0, что невозможно. Мы получили противоречие, и наша первоначальная гипотеза о том, что АВС - прямоугольный треугольник, неверна. Следовательно, задача имеет ошибку или нет решения. Мы не можем найти длину катета АВ, так как задача некорректна или было допущено ошибочное условие.