1) Какой путь пройден поездом при скорости v1 в течение одной трети всего времени движения и скорости v2 в течение

Задача 1:
Для решения задачи нам необходимо найти путь, пройденный поездом при заданных скоростях $v_1$ и $v_2$ в течение определённого времени $t$.

Дано:
$v_1$ - скорость поезда в первой части времени
$v_2$ - скорость поезда во второй части времени
$t$ - общее время движения

Нам известно, что поезд движется со скоростью $v_1$ в течение одной трети всего времени движения, а затем с $v_2$ в оставшейся части времени.

Обозначим время движения с $v_1$ как $t_1$, а время движения с $v_2$ как $t_2$.

Таким образом, у нас есть два уравнения:
$$\frac{t_1}{t}=\frac{1}{3}\text{(1)}$$
$$\frac{t_2}{t}=\frac{2}{3}\text{(2)}$$

Теперь найдем путь $s_1$, пройденный с $v_1$, и путь $s_2$, пройденный с $v_2$, используя формулу $s=vt$, где $s$ - путь, $v$ - скорость, $t$ - время:
$$s_1=v_1\cdot t_1\text{(3)}$$
$$s_2=v_2\cdot t_2\text{(4)}$$

Теперь найдем общий путь $s_{\text{общ}}$:
$$s_{\text{общ}}=s_1+s_2\text{(5)}$$

Объединим все уравнения, чтобы получить полное решение:

Из уравнения (1) найдём $t_1$:
$$t_1=\frac{t}{3}$$

Из уравнения (2) найдём $t_2$:
$$t_2=\frac{2t}{3}$$

Подставим $t_1$ и $t_2$ в уравнения (3) и (4) и найдём $s_1$ и $s_2$:
$$s_1=v_1\cdot \frac{t}{3}=\frac{v_{1}t}{3}$$
$$s_2=v_2\cdot \frac{2t}{3}=\frac{2v_{2}t}{3}$$

Теперь найдём общий путь $s_{\text{общ}}$ с использованием уравнения (5):
$$s_{\text{общ}}=\frac{v_{1}t}{3}+\frac{2v_{2}t}{3}=\frac{v_{1}t+2v_{2}t}{3}=\frac{(v_1+2v_2)t}{3}$$

Таким образом, путь пройденный поездом при скорости $v_1$ в течение одной трети всего времени движения и скорости $v_2$ в течение оставшегося времени равен $\frac{(v_1+2v_2)t}{3}$.

Задача 2:
Теперь рассмотрим вопрос о средней скорости поезда. Средняя скорость определяется как отношение пройденного пути к затраченному времени.

Общий путь, пройденный поездом, мы уже нашли в предыдущей задаче - $\frac{(v_1+2v_2)t}{3}$. Затраченное время равно общему времени движения, то есть $t$.

Таким образом, средняя скорость $v_{\text{ср}}$ равна:
$$v_{\text{ср}}=\frac{\text{путь}}{\text{время}}=\frac{\frac{(v_1+2v_2)t}{3}}{t}=\frac{v_1+2v_2}{3}$$

Таким образом, среднее значение скорости поезда равно $\frac{v_1+2v_2}{3}$.

Задача 3:
Для численного решения задачи подставим значения $v_1=60$ км/ч и $v_2=90$ км/ч в формулу средней скорости:
$$v_{\text{ср}}=\frac{60+2\cdot 90}{3}=\frac{240}{3}=80\text{ км/ч}$$

Таким образом, численное значение средней скорости поезда при $v_1=60$ км/ч и $v_2=90$ км/ч составляет 80 км/ч.