1) Какой путь пройден поездом при скорости v1 в течение одной трети всего времени движения и скорости v2 в течение

Задача 1:
Для решения задачи нам необходимо найти путь, пройденный поездом при заданных скоростях \(v_1\) и \(v_2\) в течение определённого времени \(t\).

Дано:
\(v_1\) - скорость поезда в первой части времени
\(v_2\) - скорость поезда во второй части времени
\(t\) - общее время движения

Нам известно, что поезд движется со скоростью \(v_1\) в течение одной трети всего времени движения, а затем с \(v_2\) в оставшейся части времени.

Обозначим время движения с \(v_1\) как \(t_1\), а время движения с \(v_2\) как \(t_2\).

Таким образом, у нас есть два уравнения:
\[
\frac{t_1}{t} = \frac{1}{3} \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{t_2}{t} = \frac{2}{3} \quad \text{(2)}
\]

Теперь найдем путь \(s_1\), пройденный с \(v_1\), и путь \(s_2\), пройденный с \(v_2\), используя формулу \(s = vt\), где \(s\) - путь, \(v\) - скорость, \(t\) - время:
\[
s_1 = v_1 \cdot t_1 \quad \text{(3)}
\]
\[
s_2 = v_2 \cdot t_2 \quad \text{(4)}
\]

Теперь найдем общий путь \(s_{\text{общ}}\):
\[
s_{\text{общ}} = s_1 + s_2 \quad \text{(5)}
\]

Объединим все уравнения, чтобы получить полное решение:

Из уравнения (1) найдём \(t_1\):
\[
t_1 = \frac{t}{3}
\]

Из уравнения (2) найдём \(t_2\):
\[
t_2 = \frac{2t}{3}
\]

Подставим \(t_1\) и \(t_2\) в уравнения (3) и (4) и найдём \(s_1\) и \(s_2\):
\[
s_1 = v_1 \cdot \frac{t}{3} = \frac{v_1 t}{3}
\]
\[
s_2 = v_2 \cdot \frac{2t}{3} = \frac{2v_2 t}{3}
\]

Теперь найдём общий путь \(s_{\text{общ}}\) с использованием уравнения (5):
\[
s_{\text{общ}} = \frac{v_1 t}{3} + \frac{2v_2 t}{3} = \frac{v_1 t + 2v_2 t}{3} = \frac{(v_1 + 2v_2) t}{3}
\]

Таким образом, путь пройденный поездом при скорости \(v_1\) в течение одной трети всего времени движения и скорости \(v_2\) в течение оставшегося времени равен \(\frac{(v_1 + 2v_2) t}{3}\).

Задача 2:
Теперь рассмотрим вопрос о средней скорости поезда. Средняя скорость определяется как отношение пройденного пути к затраченному времени.

Общий путь, пройденный поездом, мы уже нашли в предыдущей задаче - \(\frac{(v_1 + 2v_2) t}{3}\). Затраченное время равно общему времени движения, то есть \(t\).

Таким образом, средняя скорость \(v_{\text{ср}}\) равна:
\[
v_{\text{ср}} = \frac{\text{путь}}{\text{время}} = \frac{\frac{(v_1 + 2v_2) t}{3}}{t} = \frac{v_1 + 2v_2}{3}
\]

Таким образом, среднее значение скорости поезда равно \(\frac{v_1 + 2v_2}{3}\).

Задача 3:
Для численного решения задачи подставим значения \(v_1 = 60\) км/ч и \(v_2 = 90\) км/ч в формулу средней скорости:
\[
v_{\text{ср}} = \frac{60 + 2 \cdot 90}{3} = \frac{240}{3} = 80 \text{ км/ч}
\]

Таким образом, численное значение средней скорости поезда при \(v_1 = 60\) км/ч и \(v_2 = 90\) км/ч составляет 80 км/ч.