1. Какой период обращения Венеры вокруг Солнца в земных сутках, если ее большая полуось орбиты равна 0,7 а.е.?

1. Период обращения Венеры вокруг Солнца можно вычислить, используя третий закон Кеплера, который утверждает, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу её большой полуоси орбиты.

Для решения этой задачи, нам дано, что большая полуось орбиты Венеры равна 0,7 а.е. (астрономических единиц).

\[T^2 = k \cdot a^3\]

Где \(T\) - период обращения планеты, \(a\) - большая полуось орбиты планеты, \(k\) - постоянная пропорциональности.

Теперь можем подставить известные значения и решить уравнение:

\[T^2 = k \cdot (0.7)^3\]

\[T^2 = k \cdot 0.343\]

Для упрощения решения, примем \(k = 1\) (так как мы просто ищем период в земных сутках, а не реальное значение постоянной).

\[T^2 = 0.343\]

Находим квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[T \approx \sqrt{0.343}\]

\[T \approx 0.585\]

Таким образом, период обращения Венеры вокруг Солнца составляет примерно 0,585 земных суток.

2. Расстояние от Земли до Юпитера можно определить, используя параллаксную формулу. Параллакс - это угловое смещение объекта при наблюдении с разных точек.

Формула параллакса:

\[\frac{D}{r} = \tan(p)\]

Где \(D\) - расстояние до объекта (в данном случае Юпитера), \(r\) - радиус Земли, \(p\) - горизонтальный параллакс (в данном случае для Юпитера).

Мы знаем, что горизонтальный параллакс Солнца составляет 8,8 угловых секунд, и горизонтальный параллакс Юпитера составляет 1,5 угловых секунд.

Подставим известные значения в формулу:

\[\frac{D}{r} = \tan(1.5")\]

Так как угловые секунды малы, мы можем пренебречь ими и использовать синус вместо тангенса:

\[\frac{D}{r} = \sin(1.5")\]

Теперь найдем расстояние \(D\):

\[D = r \cdot \sin(1.5")\]

Используем значение горизонтального параллакса Солнца:

\[D = 1 \cdot \sin(1.5")\]

Вычислим значение:

\[D \approx 1 \cdot 0.0004 \approx 0.0004\]

Таким образом, расстояние от Земли до Юпитера составляет приблизительно 0.0004 астрономических единиц.

3. Чтобы определить массу Урана, нужно сравнить движение Луны вокруг Земли с движением спутника Титания вокруг Урана с периодом 8 суток 17 часов.

Мы знаем, что период обращения Луны вокруг Земли составляет 27,3 суток, а большая полуось ее орбиты равна 384000 км. Также мы знаем, что радиус Урана равен 6400 км.

Согласно третьему закону Кеплера, квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу ее большой полуоси:

\[T^2 = k \cdot a^3\]

Где \(T\) - период обращения планеты, \(a\) - большая полуось орбиты планеты, \(k\) - постоянная пропорциональности.

Для Луны:

\[(27.3)^2 = k \cdot (384000)^3\]

Для Титания:

\[(8.7097)^2 = k \cdot r^3\]

Где \(r\) - радиус орбиты Титания (6400 км + расстояние от Урана до Титания).

Теперь найдем период движения Титания:

\[T = 8 \cdot 24 + 17 = 197 \text{ часов}\]

\[T = \frac{197}{24} \approx 8.2083\text{ суток}\]

Теперь найдем расстояние от Урана до Титания:

\[r = \sqrt[3]{\frac{(8.2083)^2}{k}}\]

Мы можем найти соотношение периодов:

\[\frac{T^2}{t^2} = \frac{a^3}{r^3}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{(27.3)^2}{(8.2083)^2} = \frac{(384000)^3}{r^3}\]

Теперь найдем \(r\):

\[r = \sqrt[3]{\frac{(384000)^3 \cdot (8.2083)^2}{(27.3)^2}}\]

\[r \approx 24907\text{ км}\]

Теперь мы знаем расстояние от Урана до Титания. Чтобы найти массу Урана, сравним силы притяжения Луны и Титания к их планетам:

\[\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}\]

Где \(F_1\) и \(F_2\) - силы притяжения Луны и Титания соответственно, \(m_1\) и \(m_2\) - массы Луны и Урана соответственно, \(r_1\) и \(r_2\) - расстояния от планеты до спутника соответственно.

Таким образом, можно записать:

\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{m_2}{1} = \frac{(6400)^2}{(24907)^2}\]

Решим уравнение:

\[m_2 = \frac{(6400)^2}{(24907)^2}\]

\[m_2 \approx 0.051\]

Таким образом, масса Урана составляет примерно 0.051 масс Земли.