1) Какой острый угол образуют диагонали параллелограмма, построенного на векторах -2m¯+n¯ и m¯+2n¯, если угол между

1) Для определения угла между векторами необходимо использовать формулу скалярного произведения двух векторов. Пусть вектора m¯ и n¯ имеют длины \(\lVert m¯ \rVert = m\) и \(\lVert n¯ \rVert = n\) соответственно. Тогда, используя свойство скалярного произведения \(a \cdot b = \lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert \cdot \cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол между векторами, можно записать:

\((-2m¯+n¯) \cdot (m¯+2n¯) = \lVert -2m¯+n¯ \rVert \cdot \lVert m¯+2n¯ \rVert \cdot \cos(\theta)\)

Упростим это выражение:

\((-2m+n) \cdot (m+2n) = \sqrt{(-2m+n)^2} \cdot \sqrt{(m+2n)^2} \cdot \cos(\theta)\)

\((3m^2 + 8mn + 3n^2) = \sqrt{(4m^2 - 2mn + n^2)} \cdot \sqrt{(m^2 + 4mn + 4n^2)} \cdot \cos(\theta)\)

Так как угол между векторами m¯ и n¯ равен 120°, то \(\cos(\theta) = -\frac{1}{2}\). Подставим это значение и упростим уравнение:

\((3m^2 + 8mn + 3n^2) = \sqrt{(4m^2 - 2mn + n^2)} \cdot \sqrt{(m^2 + 4mn + 4n^2)} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\)

Для нахождения острого угла \(\alpha\) (меньше 90°) между диагоналями параллелограмма, нужно использовать формулу \(\alpha = \arccos(\frac{-1}{2})\). Ответом на задачу будет значение угла \(\alpha\).

2) Чтобы найти проекцию вектора b¯ на направление вектора a¯, необходимо умножить длину вектора b¯ на косинус угла между векторами a¯ и b¯. Пусть вектор a¯ имеет длину \(\lVert a¯ \rVert = a\). Тогда, используя формулу проекции, можно записать:

Проекция вектора b¯ на направление вектора a¯ = \(\lVert b¯ \rVert \cdot \cos(\theta)\)

Мы уже знаем, что вектор a¯ равен \(-2m¯+n¯\) и угол между векторами m¯ и n¯ равен 120°. Также, вектор b¯ равен \(m¯+2n¯\). Подставим значения в формулу, чтобы найти проекцию:

Проекция вектора \(m¯+2n¯\) на направление вектора \(-2m¯+n¯\) = \(\sqrt{(m^2 + 4mn + 4n^2)} \cdot \cos(120°)\)

Вычислим значение косинуса 120°:

\(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\)

Подставим значение в формулу проекции и упростим:

Проекция вектора \(m¯+2n¯\) на направление вектора \(-2m¯+n¯\) = \(\sqrt{(m^2 + 4mn + 4n^2)} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\)

Ответом на задачу будет значение проекции вектора b¯.

3) Для выбора правильного ответа из предложенных вариантов, вам потребуется использовать обратные функции тригонометрии и сравнить их с данной величиной \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{8})\).

Разберем варианты по отдельности:

- \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{11})\) - эта величина меньше, чем данная \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{8})\)
- \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{5})\) - эта величина больше, чем данная \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{8})\)
- \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{7})\) - эта величина больше, чем данная \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{8})\)
- \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{8})\) - эта величина равна данной \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{8})\)

Таким образом, правильным ответом будет вариант содержащий \(\arccos(\frac{\sqrt{3}}{8})\) и корень из 8.

Надеюсь, что объяснение ответов было понятным и информативным. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!