1. Какой объем у прямой призмы, основание которой - ромб с диагоналями 8 см и 12 см, а большее диагональное сечение

1. Чтобы найти объем прямой призмы, нужно умножить площадь основания на высоту. Для начала найдем площадь основания.

Для ромба с диагоналями 8 см и 12 см площадь вычисляется как половина произведения диагоналей. Таким образом, площадь основания равна \( \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{см} \cdot 12 \, \text{см} = 48 \, \text{см}^2\).

Поскольку большее диагональное сечение равно 24 см², это означает, что высота призмы равна 24 см² / 48 см² = 0,5 см.

Теперь, чтобы найти объем прямой призмы, умножим площадь основания на высоту: \( V = 48 \, \text{см}^2 \cdot 0,5 \, \text{см} = 24 \, \text{см}^3 \).

Ответ: объем прямой призмы равен 24 см³.

2. Чтобы найти объем цилиндра, вокруг которого описан куб с объемом 8000 см³, нам нужно знать размеры куба. Поскольку куб имеет равные стороны, мы можем использовать формулу объема куба, чтобы найти его стороны.

Объем куба равен кубу длины его стороны, поэтому мы сможем найти длину стороны куба, взяв кубический корень из 8000 см³.

\(\sqrt[3]{8000 \, \text{см}^3} = 20 \, \text{см}\)

Таким образом, сторона куба равна 20 см.

Чтобы найти радиус цилиндра, вокруг которого описан куб, мы можем использовать радиус описанной окружности куба, который равен половине длины его диагонали.

Диагональ куба равна стороне куба, умноженной на \(\sqrt{2}\), поэтому диагональ равна \(20 \, \text{см} \cdot \sqrt{2}\).

Радиус цилиндра будет половиной диагонали, поэтому радиус равен \(\frac{20 \, \text{см} \cdot \sqrt{2}}{2} = 20 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \, \text{см} \cdot \sqrt{2}\).

Теперь можем найти объем цилиндра, используя формулу \(V = \pi r^2 h\).

Подставим значения: \(V = \pi \cdot (10 \, \text{см} \cdot \sqrt{2})^2 \cdot h\).

Так как объем цилиндра равен 8000 см³, получаем уравнение \(8000 = \pi \cdot (10 \, \text{см} \cdot \sqrt{2})^2 \cdot h\).

Решим его относительно \(h\):

\(h = \frac{8000}{\pi \cdot (10 \, \text{см} \cdot \sqrt{2})^2}\).

После подстановки численных значений, получим объем цилиндра.

Вычисляем: \(h \approx 20,22 \, \text{см}\).

Ответ: объем цилиндра около 20,22 см³.

3. Чтобы найти объем тела вращения, полученного вращением прямоугольника, сначала найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его двух сторон.

Площадь прямоугольника равна \(3 \, \text{см} \cdot 8 \, \text{см} = 24 \, \text{см}^2\).

Затем мы должны найти расстояние, на котором находится вращающаяся прямая от большей стороны прямоугольника.

Расстояние равно 2 см.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения объема тела вращения: \(V = \pi \int_a^b f^2(x) \, dx\), где \(f(x)\) - функция, а \(a\) и \(b\) - пределы интегрирования.

Функция \(f(x)\) представляет собой ширину прямоугольника в зависимости от положения прямой. В данном случае \(f(x)\) равна 8 см, так как это ширина прямоугольника.

Поскольку расстояние между прямой и большей стороной составляет 2 см, пределы интегрирования будут от 2 до 10 (8 + 2 = 10).

Подставим значения: \(V = \pi \int_2^{10} 8^2 \, dx\)

Вычислим: \(V = \pi \cdot 64 \cdot (x \Big|_2^{10})\)

Результат: \(V = \pi \cdot 64 \cdot (10 - 2) = 504 \pi \, \text{см}^3\).

Ответ: объем тела вращения около \(504 \pi \, \text{см}^3\).

4. Чтобы найти объем прямой призмы в форме трапеции, сначала нужно найти площадь основания.

Площадь основания трапеции равна половине суммы ее оснований, умноженной на высоту.

Таким образом, площадь основания равна \(\frac{1}{2} \cdot (9 \, \text{см} + 34 \, \text{см}) \cdot 13 \, \text{см} = 253 \, \text{см}^2\).

Теперь, чтобы найти объем прямой призмы, умножим площадь основания на высоту:

\(V = 253 \, \text{см}^2 \cdot 13 \, \text{см} = 3289 \, \text{см}^3\).

Ответ: объем прямой призмы около 3289 см³.

5. Чтобы найти размеры закрытой...