1) Какой объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если диагонали его диагонального сечения перпендикулярны

Конечно, я могу помочь с решением этих задач.

1) Для решения данной задачи нам понадобятся знания о прямоугольном параллелепипеде и его диагоналях.

Из условия задачи известно, что AD = 3 см и AA1 = 2√3 см.

\(\Delta ADB\) и \(\Delta A1DB\) - прямоугольные треугольники, так как диагональное сечение параллелепипеда перпендикулярно его боковым граням.

Мы можем найти длину BD, используя теорему Пифагора:

\(BD = \sqrt{AD^2 + AA1^2}\)

\(BD = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{3})^2}\)

\(BD = \sqrt{9 + 12}\)

\(BD = \sqrt{21}\)

Теперь мы можем найти объем параллелепипеда, используя формулу:

\(V = AB \cdot BC \cdot BD\)

Так как параллелепипед ABCDA1B1C1D1 является прямоугольной призмой, то AB = BC.

В итоге, мы получаем:

\(V = AB^2 \cdot BD\)

\(V = (AB \cdot BD) \cdot AB\)

\(V = (AB \cdot \sqrt{21}) \cdot AB\)

Так как в задаче не указаны другие размеры параллелепипеда, мы не можем найти точное значение объема, но можем выразить его через переменную AB: \(V = 21AB^2\).

2) Для решения этой задачи нам нужно знать формулу объема пирамиды и угол между апофемой и плоскостью основания.

Из условия задачи известно, что высота пирамиды равна 8 см, а угол между апофемой и плоскостью основания составляет 30°.

Формула для объема правильной треугольной пирамиды:

\(V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\),

где \(S_{осн}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Угол между апофемой и плоскостью основания составляет 30°, поэтому синус этого угла равен половине:

\(\sin 30° = \frac{1}{2}\).

Так как треугольная пирамида правильная, то высота и апофема делятся на 2.

Апофема пирамиды равна половине основания треугольника.

Используем синус 30° для нахождения длины апофемы:

\(\sin 30° = \frac{AB}{\frac{AB}{2}}\).

Решая это уравнение, получаем, что \(AB = 2 \cdot \sin 30°\).

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды:

\(S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB^2\).

Таким образом, получаем формулу для объема пирамиды:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB^2 \cdot h\).

Подставим известные значения:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2 \cdot \sin 30°)^2 \cdot 8\).

Вычисляя эту формулу, мы получаем ответ на задачу о объеме правильной треугольной пирамиды.

3) Для решения этой задачи нам нужно знать формулу объема шарового сегмента.

Из условия задачи известно, что высота сегмента равна 1,5 см, а радиус шара равен 2 см.

Формула для объема меньшего шарового сегмента:

\(V = \frac{h}{6}(3a^2 + h^2)\),

где \(h\) - высота сегмента, а \(a\) - радиус шара.

Подставим известные значения:

\(V = \frac{1,5}{6}(3 \cdot 2^2 + 1,5^2)\).

Вычисляя эту формулу, мы получаем ответ на задачу о объеме меньшего шарового сегмента.

4) Для решения этой задачи нам нужно знать формулу объема сегмента сферы.

Из условия задачи известно, что диаметр окружности сечения равен 14 см, а радиус шара составляет 25 см.

Формула для объема меньшего сегмента сферы:

\(V = \frac{h}{6}(3R^2 + h^2)\),

где \(h\) - высота сегмента, а \(R\) - радиус шара.

Подставим известные значения:

\(V = \frac{h}{6}(3 \cdot 25^2 + h^2)\).

Вычисляя эту формулу, мы получаем ответ на задачу о объеме меньшего сегмента сферы.

Я надеюсь, что это поможет вам. Если у вас есть еще вопросы или задачи, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.