1 Какой из двух гранитных цилиндров, подвешенных к коромыслу весов и имеющих одинаковый объем, будет перевешивать

1. Когда цилиндры имеют одинаковый объем, то их массы будут зависеть только от плотности материала из которого они сделаны. Плотность - это отношение массы к объему. Для гранита, предположим, его плотность равна \(р_г\), а для воды и бензина - \(р_в\) и \(р_б\) соответственно. Обозначим массу гранитного цилиндра, погруженного в воду, как \(м_г\), и массу гранитного цилиндра, погруженного в бензин, как \(м_б\).

Таким образом, мы можем сказать, что \(м_г = Vр_г\), где \(V\) - объем гранитного цилиндра, а \(р_г\) - плотность гранита.
Аналогично, \(м_в = Vр_в\) - масса воды, в которую погружен гранитный цилиндр, и \(м_б = Vр_б\) - масса бензина, в который погружен гранитный цилиндр.

Так как объемы цилиндров считаются одинаковыми, то \(V\) можно сократить при сравнении масс цилиндров в бензине и воде:
\[\frac{м_в}{м_б} = \frac{Vр_в}{Vр_б} = \frac{р_в}{р_б}\]

Теперь сравним отношение масс гранитных цилиндров в воде и бензине:
\[\frac{м_г}{м_б} = \frac{Vр_г}{Vр_б} = \frac{р_г}{р_б}\]

Если отношение плотностей гранита и бензина (\(\frac{р_г}{р_б}\)) больше единицы, то гранитный цилиндр, погруженный в бензин, будет перевешивать гранитный цилиндр, погруженный в воду.

2. Для того чтобы определить, сломается ли равновесие весов при погружении шаров, мы должны сравнить изменение масс, подвешенных к каждому концу весов.

Пусть масса чугунного шара равна \(м_ч\), масса мраморного шара - \(м_м\), и их объемы равны друг другу. Обозначим массы, подвешенные к каждому концу весов, как \(м_1\) и \(м_2\).
Известно, что плотность чугуна равна \(р_ч\), а плотность мрамора - \(р_м\).

При погружении этих шаров в воду, объем воды, вытесненной каждым из них, будет равен их объемам. Таким образом, масса воды, вытесненной чугунным шаром, будет равна массе чугунного шара, а масса воды, вытесненной мраморным шаром, будет равна массе мраморного шара. Обозначим массу воды, вытесненной чугунным шаром, как \(м_в_ч\), а массу воды, вытесненной мраморным шаром, как \(м_в_м\).

Из закона Архимеда мы знаем, что сила, с которой жидкость действует на погруженное в нее тело, равна весу вытесненной жидкости. Таким образом, изменение масс, подвешенных к каждому концу весов, будет равно разнице между массой вытесненной воды каждым шаром.

Известно, что \(м_в_ч = V_чр_в\) и \(м_в_м = V_мр_в\), где \(V_ч\) и \(V_м\) - объемы чугунного и мраморного шаров соответственно.

Теперь сравним изменение масс, подвешенных к каждому концу весов:
\[\Delta м = м_2 - м_1 = (м_м + м_в_м) - (м_ч + м_в_ч) = м_м + V_мр_в - (м_ч + V_чр_в)\]

Если величина \(\Delta м\) равна нулю, то равновесие весов не сломается. Если \(\Delta м\) положительна, то правая чашка весов опустится, и чугунный шар перевесит мраморный шар. Если \(\Delta м\) отрицательна, то левая чашка весов опустится, и мраморный шар перевесит чугунный шар.

3. Для вычисления силы, с которой будет выталкиваться кусок стекла керосином, мы можем использовать закон Архимеда. Согласно закону Архимеда, сила, с которой взаимодействует жидкость с погруженным в нее телом (в нашем случае, керосином с куском стекла), равна весу вытесненной жидкости.

Объем вытесненной жидкости равен объему куска стекла. Обозначим массу и объем куска стекла как \(м\) и \(V\) соответственно, а его плотность - \(р_с\).

Масса вытесненного керосина будет равна разности массы керосина со стеклом и массы стекла:
\[м_в = м_к - м = Vр_к - Vр_с = V(р_к - р_с)\]

Сила, с которой будет выталкиваться кусок стекла, равна весу вытесненного керосина:
\[F = м_вg = V(р_к - р_с)g\]

В нашем случае, мы хотим выразить силу в миллиньютонах, поэтому нужно преобразовать единицы измерения:
\[F_A = F \cdot 10^6 = V(р_к - р_с)g \cdot 10^6\]

Известные значения плотности: \(р_к = 800 \, \text{кг/м}^3\) и \(р_с = 2600 \, \text{кг/м}^3\).
Значение ускорения свободного падения \(g\) примерно равно \(9,8 \, \text{м/с}^2\).

Теперь, подставляем эти значения в формулу и округляем ответ до десятых:
\[F_A \approx V(р_к - р_с)g \cdot 10^6 \approx 15 \cdot (800 - 2600) \cdot 9,8 \cdot 10^6 \, \text{мН}\]

4. Чтобы определить объем погруженного предмета, нам потребуется знать его плотность и массу, а также плотность жидкости, в которую он погружен. Обозначим объем погруженного предмета как \(V_п\), его массу - \(м_п\), его плотность - \(ρ_п\), и плотность жидкости - \(ρ_ж\) соответственно.

По закону Архимеда, на погруженный предмет действует поддерживающая сила, равная весу вытесненной им жидкости. Вес жидкости, вытесненной предметом, равен произведению плотности жидкости на объем вытесненной жидкости:
\[Вес\,жидкости = м_ж = V_п \cdot ρ_ж\]

С другой стороны, вес жидкости также можно выразить через массу погруженного предмета:
\[Вес\,жидкости = м_ж = м_п = V_п \cdot ρ_п\]

Из этих двух равенств можно получить выражение для объема погруженного предмета:
\[V_п = \frac{м_п}{ρ_п} = \frac{м_ж}{ρ_ж}\]

Теперь мы можем вычислить объем погруженного предмета, заменив известные значения:
\[V_п = \frac{м_ж}{ρ_ж} = \frac{V_п \cdot ρ_ж}{ρ_ж}\]

Общий объем погруженного предмета равен \(\frac{м_ж}{ρ_ж}\).