1. Какой диаметр у окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника с длиной стороны 4 см? Ответ в виде числа

1. Чтобы найти диаметр окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, нам понадобится использовать свойство равнобедренного треугольника, образованного радиусом окружности, стороной правильного шестиугольника и отрезком, соединяющим центр окружности с вершиной правильного шестиугольника.

Поскольку правильный шестиугольник имеет все стороны равными, длина стороны будет 4 см. Радиус равен половине диаметра, поэтому радиус равен половине стороны шестиугольника.

Давайте нарисуем правильный шестиугольник, чтобы лучше представить себе ситуацию:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & B & & \\
& & / & \mid & \backslash & \\
& / & & \mid & & \backslash \\
A & & & C & & D \\
& \backslash & & \mid & & / \\
& & \backslash & \mid & / \\
& & & E & \\
\end{array}
\]

Давайте обозначим центр окружности как O. Теперь мы можем соединить O с вершинами правильного шестиугольника (A, B, C, D, E). Полученные линии, соединяющие O с вершинами шестиугольника, будут радиусами окружности.

Мы видим, что получившийся треугольник \(\Delta OAB\) является равнобедренным. Согласно свойству равнобедренного треугольника, основание \(\overline{AB}\) равно длине стороны шестиугольника (4 см), и угол при вершине O равен \(60^\circ\). Так как сумма углов в равнобедренном треугольнике равна \(180^\circ\), каждый из двух основных углов равен \((180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ\).

Теперь нам понадобится применить закон синусов для нахождения диаметра окружности (так как мы знаем длину основания и угол):

\[
\frac{{\overline{AB}}}{{\sin(\angle AOB)}} = \frac{{\text{{диаметр}}}}{2}
\]

Подставим известные значения:

\[
\frac{4}{{\sin(60^\circ)}} = \frac{{\text{{диаметр}}}}{2}
\]

Угол \(60^\circ\) в радианах равен \(\frac{\pi}{3}\), поэтому:

\[
\frac{4}{{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}} = \frac{{\text{{диаметр}}}}{2}
\]

Теперь мы можем решить эту задачу численно, подставив значения и решив уравнение:

\[
\frac{4}{{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \frac{{\text{{диаметр}}}}{2}
\]

\[
\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{{\text{{диаметр}}}}{2}
\]

\[
\frac{16}{\sqrt{3}} = \text{{диаметр}}
\]

Итак, диаметр окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника со стороной длиной 4 см, равен \(\frac{16}{\sqrt{3}}\) без единиц измерения.

2. Чтобы найти значение \(x\), нам нужно использовать формулу для вычисления площади сегмента окружности.

\[
\text{{Площадь сегмента}} = \frac{{\text{{Центральный угол}}}}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin(\text{{Центральный угол}})
\]

Где \(r\) - радиус окружности, а \(\text{{Центральный угол}}\) - величина центрального угла в градусах.

Дано в задаче: \(r = 6\), \(\text{{Центральный угол}} = 120^\circ\)

Подставим значения в формулу и найдем площадь сегмента:

\[
\text{{Площадь сегмента}} = \frac{{120^\circ}}{{360^\circ}} \times \pi \times (6^2) - \frac{1}{2} \times (6^2) \times \sin(120^\circ)
\]

\[
\text{{Площадь сегмента}} = \frac{1}{3} \pi \times 36 - 18 \times \sin(120^\circ)
\]

\[
\text{{Площадь сегмента}} = 12 \pi - 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
\text{{Площадь сегмента}} = 12 \pi - 9 \sqrt{3}
\]

Итак, площадь сегмента равна \(12 \pi - 9 \sqrt{3}\). Значение \(x\) также равно \(12 \pi - 9 \sqrt{3}\), так как площадь заданного сегмента равна \(-x\sqrt{3}\).