1. Какой будет пятый член прогрессии, если первый член равен 810, а знаменатель равен -1/3? 2. Какая будет сумма первых

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1. Дано:
Первый член прогрессии (а₁) = 810
Знаменатель прогрессии (d) = -1/3

Чтобы найти пятый член прогрессии (а₅), мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[aₙ = a₁ + (n - 1) * d\]

Где "n" - номер члена прогрессии, "aₙ" - n-й член прогрессии, "a₁" - первый член прогрессии, а "d" - знаменатель прогрессии.

Подставим известные значения:

\[a₅ = 810 + (5 - 1) * (-1/3)\]
\[a₅ = 810 + 4 * (-1/3)\]
\[a₅ = 810 - 4/3\]
\[a₅ = 810 - 1.333\]
\[a₅ = 808.667\]

Итак, пятый член прогрессии равен 808.667.

Перейдем ко второй задаче.

2. Дано:
Первый член прогрессии (а₁) = 9
Знаменатель прогрессии (d) = -1/3

Мы должны найти сумму первых восьми членов прогрессии (S₈). Для этого мы можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)\]

Подставим известные значения:

\[S₈ = (8/2) * (9 + a₈)\]

Нам нужно найти значение а₈, поэтому найдем это значение сначала.

Используем формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[aₙ = a₁ + (n - 1) * d\]

Подставим известные значения:

\[a₈ = 9 + (8 - 1) * (-1/3)\]
\[a₈ = 9 + 7 * (-1/3)\]
\[a₈ = 9 - 7/3\]
\[a₈ = 9 - 2.333\]
\[a₈ = 6.667\]

Теперь мы можем подставить значение а₈ в формулу для суммы первых восьми членов:

\[S₈ = (8/2) * (9 + 6.667)\]
\[S₈ = 4 * 15.667\]
\[S₈ = 62.668\]

Итак, сумма первых восьми членов прогрессии равна 62.668.

Перейдем к третьей задаче.

3. Дано:
Седьмой член прогрессии (а₇) = 162
Знаменатель прогрессии (d) = \(\sqrt{3}\)

Мы должны найти первый член прогрессии (а₁). Для этого мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:

\[aₙ = a₁ + (n - 1) * d\]

Мы знаем значение а₇, поэтому мы можем найти а₁, заменив значения:

\[a₇ = a₁ + (7 - 1) * \sqrt{3}\]
\[162 = a₁ + 6 * \sqrt{3}\]

Теперь разрешите мне решить это уравнение относительно a₁:

Переместим \(6 * \sqrt{3}\) на другую сторону уравнения:

\[a₁ = 162 - 6 * \sqrt{3}\]
\[a₁ = 162 - 6\sqrt{3}\]
\[a₁ ≈ 140.61\]

Итак, первый член прогрессии примерно равен 140.61.