1. Какой будет прогиб сетки, если акробат весит 50 кг, падает с высоты 5 метров и сетка прогибается на 1,5 метра

1. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Гука для пружины, где прогиб пропорционален приложенной силе. Приложенная сила, равная весу акробата, будет определять прогиб сетки.

Здесь вес акробата составляет 50 кг. Для расчета приложенной силы, мы можем использовать формулу \(F = mg\), где \(m\) - масса акробата, а \(g\) - ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с².

Таким образом, приложенная сила на сетку составляет:
\[F = 50 \, \text{кг} \times 9,8 \, \text{м/с²} = 490 \, \text{Н}\]

Теперь, чтобы найти прогиб сетки, мы можем использовать закон Гука, который гласит, что прогиб пропорционален приложенной силе и обратно пропорционален жесткости сетки. Мы можем использовать формулу \(s = \frac{{F \cdot L}}{{k}}\), где \(s\) - прогиб сетки, \(F\) - приложенная сила, \(L\) - высота, с которой падает акробат, а \(k\) - коэффициент жесткости сетки.

Для данной задачи сказано, что прогиб составляет 1,5 метра. Мы также знаем, что высота падения акробата равна 5 метрам. Следовательно, можно записать уравнение следующим образом:
\[1.5 \, \text{м} = \frac{{490 \, \text{Н} \cdot 5 \, \text{м}}}{k}\]

Теперь можно решить это уравнение, чтобы найти коэффициент жесткости сетки, \(k\):
\[k = \frac{{490 \, \text{Н} \cdot 5 \, \text{м}}}{{1.5 \, \text{м}}} = 1633.33 \, \text{Н/м}\]

Итак, прогиб сетки будет составлять 1,5 метра при данной массе акробата, высоте падения и коэффициенте жесткости сетки.

2. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения энергии. При броске камня под углом к горизонту, его кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию и обратно. Максимальная высота подъема камня будет достигаться в верхней точке его траектории, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную.

Знание начальной кинетической энергии камня может помочь нам решить эту задачу. Задача говорит, что начальная кинетическая энергия в 3 раза больше кинетической энергии камня в верхней точке траектории.

Теперь мы можем записать уравнение для сохранения энергии:
\[E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}}\]
\[E_{\text{кин нач}} = E_{\text{пот макс}}\]

Здесь \(E_{\text{кин нач}}\) - начальная кинетическая энергия, \(E_{\text{пот макс}}\) - максимальная потенциальная энергия.

Кинетическая энергия выражается как \(\frac{1}{2}mv^2\), а потенциальная энергия гравитации - как \(mgh\), где \(m\) - масса камня, \(v\) - скорость камня, \(g\) - ускорение свободного падения и \(h\) - высота подъема камня.

Используя данную информацию, мы можем записать уравнение следующим образом:
\(\frac{1}{2}mv^2 = mgh\)
\(v^2 = 2gh\)

Также известно, что скорость \(\upsilon\) может быть представлена через горизонтальную и вертикальную компоненты скорости:
\(\upsilon = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)
\(v_x = v \cdot \cos(\theta)\)
\(v_y = v \cdot \sin(\theta)\)

Здесь \(v_x\) - горизонтальная компонента скорости, \(v_y\) - вертикальная компонента скорости и \(\theta\) - угол броска камня.

Теперь мы можем записать уравнение для кинетической энергии, используя новые переменные:
\(\frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = mgh\)
\(v_x^2 + v_y^2 = 2gh\)

Горизонтальная компонента скорости, \(v_x\), остается постоянной во время полета камня, поскольку сила трения не учитывается в данной задаче.

Теперь у нас есть все необходимые уравнения. Мы можем использовать полученные данные, чтобы найти максимальную высоту подъема камня.

3. В данной задаче мы имеем дело с колесом, поэтому, чтобы найти расстояние, пройденное велосипедистом за минуту, нам нужно знать окружность колеса и скорость велосипедиста.

Диаметр колеса составляет 200 метров, что означает, что радиус равен половине диаметра, т.е. 100 метров.

Теперь нам также нужно знать скорость велосипедиста. По условию задачи, велосипедист движется с постоянной скоростью. Пусть \(v\) - скорость велосипедиста в метрах в секунду.

Теперь мы можем использовать формулу для длины окружности, чтобы найти расстояние, пройденное велосипедистом за минуту:
\[d = 2\pi r\]
\[d = 2\pi \times 100 \, \text{м} = 200\pi \, \text{м}\]

Таким образом, велосипедист может проехать \(200\pi\) метров за минуту, при условии, что он едет с постоянной скоростью по кольцевому велотреку диаметром 200 метров.