1) Какой будет двадцать пятый член арифметической прогрессии со значениями первого члена (-5) и разности (3)? 2) Каков

Хорошо, давайте решим все эти задачи по очереди.

1) Для нахождения $n$-го члена арифметической прогрессии мы используем следующую формулу:
$$a_n=a_1+(n-1)d,$$
где $a_n$ - значение $n$-го члена арифметической прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $d$ - разность прогрессии, а $n$ - номер члена, который мы хотим найти.

В данном случае, у нас заданы первый член $-5$ и разность $3$, и нам нужно найти двадцать пятый член. Подставляем значения в формулу:
$$a_{25}=-5+(25-1)\cdot 3.$$
Выполняем вычисления:
$$a_{25}=-5+24\cdot 3=-5+72=67.$$

Таким образом, двадцать пятый член данной арифметической прогрессии равен $67$.

2) Для того чтобы найти двадцать четвертый член арифметической прогрессии, имея значения первых двух членов $-64$ и $-60$, мы также можем использовать формулу $a_n=a_1+(n-1)d$.

Подставим данные значения:
Для первого члена, $a_1=-64$.
Для второго члена, $a_2=-60$.

Теперь используем формулу:
$$a_{24}=-64+(24-1)\cdot d.$$
Подставляем значения и продолжим с вычислениями:
$$-60=-64+23d.$$
Вычтем $-64$ из обеих частей уравнения:
$$-60+64=23d.$$
Упростим:
$$4=23d.$$
Теперь разделим обе части на $23$:
$$d=\frac{4}{23}.$$

Таким образом, разность данной арифметической прогрессии равна $\frac{4}{23}$.

3) Чтобы определить, принадлежит ли число $-59$ арифметической прогрессии со значениями первого члена $21$ и разности $-4$, мы можем сравнить данное число с общей формулой арифметической прогрессии $a_n=a_1+(n-1)d$.

Подставим значения:
Для первого члена, $a_1=21$.
Для разности, $d=-4$.
Для числа $-59$, $a_n=-59$.

Используем формулу:
$$-59=21+(n-1)\cdot (-4).$$
Выполняем вычисления:
$$-59=21-4n+4.$$
Упростим уравнение:
$$-59=25-4n.$$
Вычтем $25$ из обеих частей:
$$-84=-4n.$$
Теперь разделим обе части на $-4$:
$$n=21.$$

Мы находим, что значение $n$ равно $21$. Это означает, что число $-59$ не является элементом данной арифметической прогрессии.

4) Для определения значения первого члена и разности арифметической прогрессии, имея значения пятого члена $8$ и девятого члена $20$, мы можем использовать информацию о пятом и девятом членах в формуле $a_n=a_1+(n-1)d$.

Подставим значения:
Для пятого члена, $a_5=8$.
Для девятого члена, $a_9=20$.

Используем формулу для пятого члена:
$$8=a_1+(5-1)d.$$
Упростим:
$$8=a_1+4d.(1)$$

Используем формулу для девятого члена:
$$20=a_1+(9-1)d.$$
Упростим:
$$20=a_1+8d.(2)$$

Теперь мы имеем систему двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $a_1$ и $d$. Решим эту систему.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
$$20-8=a_1+8d-(a_1+4d).$$
Упростим:
$$12=4d.$$
Разделим обе части на $4$:
$$d=3.$$

Теперь подставим найденное значение разности в уравнение (1):
$$8=a_1+4\cdot 3.$$
$$8=a_1+12.$$
Вычтем $12$ из обеих частей уравнения:
$$-4=a_1.$$

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен $-4$, а разность равна $3$.