1) Какой будет двадцать пятый член арифметической прогрессии со значениями первого члена (-5) и разности (3)? 2) Каков

Хорошо, давайте решим все эти задачи по очереди.

1) Для нахождения \(n\)-го члена арифметической прогрессии мы используем следующую формулу:
\[a_n = a_1 + (n-1)d,\]
где \(a_n\) - значение \(n\)-го члена арифметической прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, а \(n\) - номер члена, который мы хотим найти.

В данном случае, у нас заданы первый член \(-5\) и разность \(3\), и нам нужно найти двадцать пятый член. Подставляем значения в формулу:
\[a_{25} = -5 + (25-1) \cdot 3.\]
Выполняем вычисления:
\[a_{25} = -5 + 24 \cdot 3 = -5 + 72 = 67.\]

Таким образом, двадцать пятый член данной арифметической прогрессии равен \(67\).

2) Для того чтобы найти двадцать четвертый член арифметической прогрессии, имея значения первых двух членов \(-64\) и \(-60\), мы также можем использовать формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставим данные значения:
Для первого члена, \(a_1 = -64\).
Для второго члена, \(a_2 = -60\).

Теперь используем формулу:
\[a_{24} = -64 + (24-1) \cdot d.\]
Подставляем значения и продолжим с вычислениями:
\[-60 = -64 + 23d.\]
Вычтем \(-64\) из обеих частей уравнения:
\[-60 + 64 = 23d.\]
Упростим:
\[4 = 23d.\]
Теперь разделим обе части на \(23\):
\[d = \frac{4}{23}.\]

Таким образом, разность данной арифметической прогрессии равна \(\frac{4}{23}\).

3) Чтобы определить, принадлежит ли число \(-59\) арифметической прогрессии со значениями первого члена \(21\) и разности \(-4\), мы можем сравнить данное число с общей формулой арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставим значения:
Для первого члена, \(a_1 = 21\).
Для разности, \(d = -4\).
Для числа \(-59\), \(a_n = -59\).

Используем формулу:
\[-59 = 21 + (n-1) \cdot (-4).\]
Выполняем вычисления:
\[-59 = 21 - 4n + 4.\]
Упростим уравнение:
\[-59 = 25 - 4n.\]
Вычтем \(25\) из обеих частей:
\[-84 = -4n.\]
Теперь разделим обе части на \(-4\):
\[n = 21.\]

Мы находим, что значение \(n\) равно \(21\). Это означает, что число \(-59\) не является элементом данной арифметической прогрессии.

4) Для определения значения первого члена и разности арифметической прогрессии, имея значения пятого члена \(8\) и девятого члена \(20\), мы можем использовать информацию о пятом и девятом членах в формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставим значения:
Для пятого члена, \(a_5 = 8\).
Для девятого члена, \(a_9 = 20\).

Используем формулу для пятого члена:
\[8 = a_1 + (5-1)d.\]
Упростим:
\[8 = a_1 + 4d. \quad (1)\]

Используем формулу для девятого члена:
\[20 = a_1 + (9-1)d.\]
Упростим:
\[20 = a_1 + 8d. \quad (2)\]

Теперь мы имеем систему двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными \(a_1\) и \(d\). Решим эту систему.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
\[20 - 8 = a_1 + 8d - (a_1 + 4d).\]
Упростим:
\[12 = 4d.\]
Разделим обе части на \(4\):
\[d = 3.\]

Теперь подставим найденное значение разности в уравнение (1):
\[8 = a_1 + 4 \cdot 3.\]
\[8 = a_1 + 12.\]
Вычтем \(12\) из обеих частей уравнения:
\[-4 = a_1.\]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен \(-4\), а разность равна \(3\).