1. Каковы значения sin(a+B) и sin(a-B), если известно, что cos(a) равно 4/5, sin(B) равен -3/5, а угол (a+B) равен

Решение:

1. Начнем с использования формулы для синуса суммы двух углов:

\[\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\]

Следовательно, нам необходимо найти значения \(\cos A\) и \(\sin A\) для дальнейших вычислений.

Мы знаем, что \(\cos A = \frac{4}{5}\). Теперь найдем значение \(\sin A\) с использованием тригонометрической тождества \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\):

\[\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}\]

Теперь, когда у нас есть значения \(\cos A\) и \(\sin B\), мы можем подставить их в формулу для \(\sin(A + B)\):

\[\sin(a + B) = \sin a \cos B + \cos a \sin B = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{9}{25}\]

Теперь рассмотрим значение \(\sin(a - B)\). Используем формулу для разности двух углов:

\[\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\]

Подставим значения \(\cos A\) и \(\sin B\):

\[\sin(a - B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} - \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{9}{25}\]

Ответ: \(\sin(a + B) = -\frac{9}{25}\) и \(\sin(a - B) = \frac{9}{25}\).

2. Применим формулу для косинуса суммы двух углов:

\[ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \]

Нам необходимо найти значения \(\sin A\) и \(\cos A\) для дальнейших вычислений.

Известно, что \(\sin A = \frac{8}{17}\). Теперь найдем значение \(\cos A\) с использованием тождества \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\):

\(\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \frac{15}{17}\)

Теперь мы можем использовать значения \(\cos A\) и \(\cos B\) в формуле для \(\cos(A + B)\):

\(\cos(a + B) = \cos a \cos B - \sin a \sin B = \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} - \frac{8}{17} \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{33}{85}\)

Теперь рассмотрим значение \(\cos(a - B)\). Используем формулу для разности двух углов:

\(\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)

Подставим значения \(\cos A\) и \(\cos B\):

\(\cos(a - B) = \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} + \frac{8}{17} \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{57}{85}\)

Ответ: \(\cos(a + B) = \frac{33}{85}\) и \(\cos(a - B) = \frac{57}{85}\).