1. Каковы высота и площадь боковой поверхности пирамиды с основанием в форме ромба, где сторона равна 24 см и острый

1. Для нахождения высоты пирамиды сначала найдем высоту бокового треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной ромба. В этом треугольнике угол между гипотенузой и катетом равен 30°, а другой угол (угол основания ромба) равен 60°.

Высота бокового треугольника равна:
\[h = \sin(30°) \times \frac{1}{2} \times 24 = \frac{1}{2} \times 24 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \, \text{см}\]

Так как в пирамиде высота проходит через вершину пирамиды и перпендикулярна основанию, высота пирамиды равна высоте бокового треугольника:
\[h_{\text{пирамиды}} = 6 \, \text{см}\]

Также для нахождения площади боковой поверхности пирамиды сначала найдем площадь бокового треугольника. Площадь треугольника равна:
\[S = \frac{1}{2} \times 24 \times 6 = 72 \, \text{см}^2\]

Поскольку пирамида имеет 4 одинаковые боковые треугольные грани, площадь боковой поверхности пирамиды равна площади одной боковой грани, умноженной на 4:
\[S_{\text{пирамиды}} = 72 \times 4 = 288 \, \text{см}^2\]

Таким образом, высота пирамиды составляет 6 см, а площадь боковой поверхности равна 288 квадратным сантиметрам.

2. Площадь боковой поверхности пирамиды с основанием в форме квадрата может быть найдена по формуле:
\[S_{\text{пирамиды}} = 4 \times (\text{периметр основания}) \times (\text{высота боковой грани})\]

Периметр основания равен:
\[\text{периметр} = 4 \times \text{сторона} = 4 \times 20 = 80 \, \text{см}\]

Подставим значения в формулу:
\[S_{\text{пирамиды}} = 4 \times 80 \times 15 = 2400 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет 2400 квадратных сантиметров.

3. Площадь боковой поверхности пирамиды с основанием в форме правильного треугольника может быть найдена по формуле:
\[S_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{апофема основания}\]

Периметр основания равен:
\[\text{периметр} = 3 \times \text{сторона} = 3 \times (\text{длина стороны треугольника})\]

Апофема основания (расстояние от центра треугольника до середины стороны) может быть найдена по формуле:
\[\text{апофема} = \frac{\sqrt{3}}{6} \times \text{длина стороны треугольника}\]

Подставим значения в формулу:
\[S_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{2} \times (3 \times \text{сторона}) \times \left(\frac{\sqrt{3}}{6} \times \text{сторона}\right)\]

Упростим выражение:
\[S_{\text{пирамиды}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{сторона}^2\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{сторона}^2\).