1. Каковы положения двух самолетов и в каком направлении они летят к моменту начала дежурства диспетчера аэропорта

1. Для определения положений двух самолетов и их направления движения к моменту начала дежурства диспетчера аэропорта в 20:00, мы можем использовать формулы для вычисления позиции объекта в пространстве при заданных начальных условиях и скоростях.

Пусть \(P_1\) - позиция первого самолета, \(P_2\) - позиция второго самолета, \(V_1\) - скорость первого самолета, \(V_2\) - скорость второго самолета.

Т.к. нам даны только проекции скоростей первого самолета по координатам \(x\) и \(y\), нам нужно осуществить преобразование этих проекций в вектор скорости.

Для этого нам также понадобятся известные координаты самолетов и время.

Воспользуемся формулами:

\[V_{1x} = \frac{{\text{{Проекция скорости первого самолета по координате x}}}}{{\text{{Время}}}}\]
\[V_{1y} = \frac{{\text{{Проекция скорости первого самолета по координате y}}}}{{\text{{Время}}}}\]

где \(V_{1x}\) и \(V_{1y}\) - проекции скорости первого самолета по координатам \(x\) и \(y\) соответственно.

Рассчитаем проекции скорости первого самолета:

\[V_{1x} = \frac{{360}}{{1}} = 360 \, \text{{км/ч}}\]
\[V_{1y} = \frac{{-360}}{{1}} = -360 \, \text{{км/ч}}\]

Теперь, зная проекции скоростей первого самолета по координатам, можем найти вектор скорости первого самолета:

\[V_1 = (V_{1x}, V_{1y}) = (360, -360) \, \text{{км/ч}}\]

Далее, используем формулы для определения позиций движущихся объектов:

\[P = P_0 + V \cdot t\]

где \(P\) - новая позиция, \(P_0\) - начальная позиция, \(V\) - вектор скорости, \(t\) - время.

Начальные позиции заданы:

\(P_{10} = (50, 50, 3)\)
\(P_{20} = (50, -20, 4)\)

Также, нам необходимо знать время, чтобы определить позиции самолетов к моменту начала дежурства диспетчера аэропорта в 20:00. Поскольку время не задано, мы не можем точно определить позиции самолетов.

2. Законы движения самолетов могут быть представлены в виде уравнений, которые описывают изменение позиции объекта со временем.

Общее уравнение движения:

\[P = P_0 + V \cdot t\]

где \(P\) - позиция объекта, \(P_0\) - начальная позиция, \(V\) - вектор скорости, \(t\) - время.

В данной задаче мы имеем два самолета, каждый из которых имеет свою начальную позицию \(P_0\) и вектор скорости \(V\). Таким образом, законы движения каждого конкретного самолета могут быть представлены с помощью уравнений:

Для первого самолета:

\[P_1 = P_{10} + V_1 \cdot t_1\]

где \(P_1\) - позиция первого самолета, \(P_{10}\) - начальная позиция первого самолета, \(V_1\) - вектор скорости первого самолета, \(t_1\) - время.

Для второго самолета:

\[P_2 = P_{20} + V_2 \cdot t_2\]

где \(P_2\) - позиция второго самолета, \(P_{20}\) - начальная позиция второго самолета, \(V_2\) - вектор скорости второго самолета, \(t_2\) - время.

3. Когда один из самолетов вылетит, зависит от изначальных условий и заданных направлений полета самолетов. В данной задаче информация о направлении полета не предоставлена, поэтому невозможно точно определить, когда один из самолетов вылетит.

4. Минимальное расстояние и время сближения самолетов можно найти, используя формулы для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве и времени, необходимого для их сближения.

Расстояние между двумя точками \(P_1\) и \(P_2\) в трехмерном пространстве может быть вычислено с использованием следующей формулы:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где \(d\) - расстояние между двумя точками, \(x_1, y_1, z_1\) - координаты первой точки, \(x_2, y_2, z_2\) - координаты второй точки.

В данной задаче координаты двух самолетов заданы:

Для первого самолета: \(P_{10} = (50, 50, 3)\)
Для второго самолета: \(P_{20} = (50, -20, 4)\)

Подставим координаты в формулу и вычислим минимальное расстояние:

\[d = \sqrt{(50-50)^2 + (50-(-20))^2 + (3-4)^2} = \sqrt{0+70^2+1} = \sqrt{4901} \approx 70.03\] км

Теперь определим время сближения самолетов. Для этого можно использовать формулу времени:

\[t = \frac{d}{v}\]

где \(t\) - время, \(d\) - расстояние, \(v\) - относительная скорость движения самолетов.

В данной задаче относительная скорость движения самолетов не задана, следовательно, мы не можем точно рассчитать время сближения.

5. Модуль скорости первого самолета в системе отсчета второго самолета можно определить, используя формулу для вектора относительной скорости:

\[v_{\text{{отн}}} = v_1 - v_2\]

где \(v_{\text{{отн}}}\) - вектор относительной скорости, \(v_1\) - вектор скорости первого самолета, \(v_2\) - вектор скорости второго самолета.

В данной задаче у нас есть только проекции скоростей первого самолета \((V_{1x}, V_{1y}) = (360, -360)\) и никакой информации о скоростях второго самолета. Без информации о скоростях второго самолета мы не можем точно рассчитать модуль скорости первого самолета в системе отсчета второго самолета.