1) Каковы координаты точки, являющейся серединой отрезка, соединяющего точки a(1; -2; 4) и c(0; -6; 2)? 2) Каковы

Хорошо, давайте начнем с решения каждой задачи по очереди.

1) Чтобы найти координаты точки, являющейся серединой отрезка, соединяющего точки \(a(1, -2, 4)\) и \(c(0, -6, 2)\), мы можем использовать формулу для нахождения средней точки отрезка. Формула будет следующей:

\[M = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}, \frac{{z_1 + z_2}}{2}\right)\]

где \(M\) - середина отрезка, \((x_1, y_1, z_1)\) - координаты первой точки, а \((x_2, y_2, z_2)\) - координаты второй точки.

Применяя данную формулу, мы получаем:

\[M = \left(\frac{{1 + 0}}{2}, \frac{{-2 + (-6)}}{2}, \frac{{4 + 2}}{2}\right)\]
\[M = \left(\frac{1}{2}, \frac{-8}{2}, \frac{6}{2}\right)\]
\[M = \left(\frac{1}{2}, -4, 3\right)\]

Таким образом, координаты точки M, являющейся серединой отрезка \(AC\), равны \(\left(\frac{1}{2}, -4, 3\right)\).

2) Для нахождения координат векторов, соединяющих точки \(A(1, -2, 4)\) и \(B(3, 4, -2)\), а также \(A(1, -2, 4)\) и \(C(0, -6, 2)\), мы должны вычислить разность координат этих точек. Формула для нахождения вектора между двумя точками выглядит следующим образом:

\[\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\]

где \(\vec{AB}\) - вектор, направленный от точки \(A\) к точке \(B\), а \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) - координаты соответствующих точек.

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[\vec{AB} = (3 - 1, 4 - (-2), -2 - 4)\]
\[\vec{AB} = (2, 6, -6)\]

Таким образом, координаты вектора \(\vec{AB}\) равны (2, 6, -6).

Аналогично, мы можем найти координаты вектора \(\vec{AC}\):

\[\vec{AC} = (0 - 1, -6 - (-2), 2 - 4)\]
\[\vec{AC} = (-1, -4, -2)\]

Таким образом, координаты вектора \(\vec{AC}\) равны (-1, -4, -2).

3) Чтобы найти координаты точки \(D\), такой, что четырехугольник, образованный точками \(A(1, -2, 4), C(0, -6, 2), D(x, y, z)\) и \(B(3, 4, -2)\), является параллелограммом, нам необходимо заметить, что векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\) должны быть равны по модулю и направлению.

Мы уже нашли вектор \(\vec{AC}\) в предыдущей задаче: \(\vec{AC} = (-1, -4, -2)\). Поскольку параллелограмм является фигурой, в которой противоположные стороны параллельны, вектор \(\vec{BD}\) должен быть равным \(\vec{AC}\) с противоположным знаком. То есть, \(\vec{BD} = (1, 4, 2)\).

Теперь мы можем записать уравнение для точки \(D\) на основе вектора \(\vec{BD}\) и координат точки \(B\):

\((x, y, z) = (3, 4, -2) + (1, 4, 2)\)

Выполняя вычисления, мы получаем:

\((x, y, z) = (4, 8, 0)\)

Таким образом, координаты точки \(D\) равны (4, 8, 0).

4) Чтобы найти расстояние между точкой \(A(1, -2, 4)\) и точкой \(B(3, 4, -2)\), мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где \(d\) - расстояние между точками, а \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) - координаты соответствующих точек.

Применяя данную формулу, мы получаем:

\[d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2}\]
\[d = \sqrt{(2)^2 + (6)^2 + (-6)^2}\]
\[d = \sqrt{4 + 36 + 36}\]
\[d = \sqrt{76}\]

Таким образом, расстояние между точками \(A(1, -2, 4)\) и \(B(3, 4, -2)\) равно \(\sqrt{76}\) или примерно 8.72 (округлено до двух знаков после запятой).

Надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять и решить данные задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.