1. Каковы координаты точек K, M и N треугольника KMN на координатной плоскости, если K(-5; —4), M(-2; —4) и N(-2; -7)?

1. а) Для того чтобы найти прямую, проходящую через точку M и параллельную стороне KN, нам нужно знать уравнение стороны KN. Для этого воспользуемся формулой нахождения наклона прямой:

\[ \text{Наклон} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} \]

Где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты двух точек на стороне KN. В данном случае, выберем точку K и точку N:

\[ \text{Наклон} = \frac{{-7 - (-4)}}{{-2 - (-5)}} = \frac{{-7 + 4}}{{-2 + 5}} = \frac{{-3}}{{3}} = -1 \]

Теперь мы знаем наклон и точку M, поэтому можем написать уравнение прямой с помощью уравнения вида \(y = mx + b\), где \(m\) - наклон и \(b\) - точка пересечения с осью \(y\).

Подставляя значения, получаем:

\[ -4 = -1 \cdot (-2) + b \]

\[ -4 = 2 + b \]

\[ b = -6 \]

Итак, уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной стороне KN, имеет вид \(y = -x - 6\).

Теперь найдем координаты точек пересечения этой прямой с осями координат:

Для оси \(x\):

\[ 0 = -x - 6 \]

\[ x = -6 \]

Точка пересечения с осью \(x\) имеет координаты \((-6, 0)\).

Для оси \(y\):

\[ y = -(-2) - 6 \]

\[ y = 2 - 6 \]

\[ y = -4 \]

Точка пересечения с осью \(y\) имеет координаты \((0, -4)\).

Итак, координаты точек пересечения прямой с осью \(x\) и \(y\) равны \((-6, 0)\) и \((0, -4)\) соответственно.

б) Чтобы найти прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную стороне KN, нам снова понадобится уравнение стороны KN и знание о том, что наклон перпендикулярных прямых является отрицательной обратной величиной наклона исходной прямой.

Таким образом, наклон прямой, перпендикулярной KN, будет равен \(\frac{1}{1} = 1\).

Используя точку M и наклон 1, мы можем написать уравнение этой прямой:

\[ y = 1 \cdot x + b \]

Подставляя значения, получаем:

\[ -4 = 1 \cdot (-2) + b \]

\[ -4 = -2 + b \]

\[ b = -2 \]

Итак, уравнение прямой, проходящей через точку M и перпендикулярной стороне KN, имеет вид \(y = x-2\).

Теперь найдем координаты точек пересечения этой прямой с осями координат:

Для оси \(x\):

\[ 0 = x - 2 \]

\[ x = 2 \]

Точка пересечения с осью \(x\) имеет координаты \((2, 0)\).

Для оси \(y\):

\[ y = (-2) - 2 \]

\[ y = -4 \]

Точка пересечения с осью \(y\) имеет координаты \((0, -4)\).

Итак, координаты точек пересечения прямой с осью \(x\) и \(y\) равны \((2, 0)\) и \((0, -4)\) соответственно.

2. Четвертая вершина прямоугольника ABCD может быть найдена с помощью того факта, что противоположные стороны прямоугольника имеют равные длины и параллельны друг другу. Таким образом, сторона AB параллельна стороне CD и сторона BC параллельна стороне AD.

Для нахождения четвертой вершины прямоугольника, мы можем использовать свойство равенства диагоналей прямоугольника, которое гласит, что диагонали прямоугольника равны и пересекаются в их середине.

Таким образом, мы можем найти координаты середины диагонали AC, а затем с помощью середины и одной из вершин прямоугольника найти координаты оставшейся вершины.

Для нахождения координат середины диагонали AC, мы можем использовать формулу середины отрезка:

\[ \text{Середина X-координаты} = \frac{{x_1 + x_2}}{2} \]

\[ \text{Середина Y-координаты} = \frac{{y_1 + y_2}}{2} \]

Где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты двух концов диагонали AC. В данном случае, выберем точку A \((-2, -3)\) и точку C \((5, 2)\):

\[ \text{Середина X-координаты} = \frac{{-2 + 5}}{2} = \frac{{3}}{2} = 1.5 \]

\[ \text{Середина Y-координаты} = \frac{{-3 + 2}}{2} = \frac{{-1}}{2} = -0.5 \]

Таким образом, координаты середины диагонали AC равны \((1.5, -0.5)\).

Теперь мы можем использовать середину диагонали AC \((1.5, -0.5)\) и вершину B \((-2, 2)\) для вычисления координат четвертой вершины прямоугольника. Следуя свойству параллельности сторон, разность координат должна быть такой же для оставшихся вершин, как и для вершины A.

\[ \text{X-координата четвертой вершины} = 5 - 1.5 = 3.5 \]

\[ \text{Y-координата четвертой вершины} = 2 - (-0.5) = 2.5 \]

Итак, координаты четвертой вершины прямоугольника ABCD равны \((3.5, 2.5)\).

Если у вас есть еще другие вопросы, не стесняйтесь задавать!