1. Каковы координаты центра окружности и радиус, если А(2; –1;0) и В(–2;3;2) являются концами диаметра окружности?
2. Какова длина вектора АС – СВ, если даны точки А(0;4;–1), В(1;3;0), С(0;2;5)?
3. Найдите угол между векторами АВ и СД, если А(5;-8;-1), В(6;-8;-2), С(7;-5;-11), D(7;-7;-9).
4. Найдите уравнение сферы с центром в точке О (3;-2;1) и проходящей через точку М(1;2;-3).
5. Для векторов b(3; m;2) и а(4;1;-2), найдите значения m при которых угол между векторами а и b: а) острый; б) тупой; в) прямой.
2. Какова длина вектора АС – СВ, если даны точки А(0;4;–1), В(1;3;0), С(0;2;5)?
3. Найдите угол между векторами АВ и СД, если А(5;-8;-1), В(6;-8;-2), С(7;-5;-11), D(7;-7;-9).
4. Найдите уравнение сферы с центром в точке О (3;-2;1) и проходящей через точку М(1;2;-3).
5. Для векторов b(3; m;2) и а(4;1;-2), найдите значения m при которых угол между векторами а и b: а) острый; б) тупой; в) прямой.
Солнечная_Луна
1. Для начала найдем координаты центра окружности. Центр окружности находится на середине диаметра, поэтому можно взять среднее арифметическое значения координат точек A и B:
\[x_{центра} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0\]
\[y_{центра} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{(-1) + 3}{2} = 1\]
\[z_{центра} = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1\]
Таким образом, координаты центра окружности равны (0; 1; 1).
Для определения радиуса окружности можно использовать расстояние между точками A и B, которое является диаметром окружности. Формула для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]
\[d = \sqrt{((-2) - 2)^2 + (3 - (-1))^2 + (2 - 0)^2}\]
\[d = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\]
Таким образом, радиус окружности равен \(r = \frac{d}{2} = \sqrt{6}\).
2. Для начала найдем вектор АС, применив формулу для вычисления вектора, направленного от точки A к точке С:
\[\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (0 - 0; 2 - 4; 5 - (-1)) = (0; -2; 6)\]
Затем найдем вектор СВ, применив формулу для вычисления вектора, направленного от точки С к точке В:
\[\overrightarrow{CV} = (x_V - x_C; y_V - y_C; z_V - z_C) = (1 - 0; 3 - 2; 0 - 5) = (1; 1; -5)\]
Теперь найдем разность векторов АС и СВ, сложив вектор АС и вектор СВ:
\[\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CV} = (0; -2; 6) - (1; 1; -5) = (-1; -3; 11)\]
Наконец, вычислим длину полученного вектора:
\[\text{Длина вектора АС - СВ} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 9 + 121} = \sqrt{131}\]
Таким образом, длина вектора АС - СВ равна \(\sqrt{131}\).
3. Для нахождения угла между векторами АВ и СД мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\]
Где \(\overrightarrow{AB}\) - вектор, направленный от точки А к точке В, а \(\overrightarrow{CD}\) - вектор, направленный от точки С к точке D.
Вычислим значение числителя:
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (x_B - x_A) \cdot (x_D - x_C) + (y_B - y_A) \cdot (y_D - y_C) + (z_B - z_A) \cdot (z_D - z_C)\]
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (6 - 5) \cdot (7 - 7) + (-8 - (-8)) \cdot (-7 - (-5)) + (-2 - (-1)) \cdot (-9 - (-11))\]
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 + 0 + 2 = 2\]
Вычислим значение знаменателя:
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(6 - 5)^2 + (-8 - (-8))^2 + (-2 - (-1))^2}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\]
\[|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2}\]
\[|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(7 - 7)^2 + (-5 - (-8))^2 + (-11 - (-11))^2}\]
\[|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{0 + 9 + 0} = 3\]
Теперь подставим значения числителя и знаменателя в формулу для косинуса угла:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{2}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}\]
Теперь, чтобы найти угол \(\theta\), возьмем арккосинус полученного значения:
\[\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\]
Таким образом, угол между векторами АВ и СД равен \(\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\).
4. Уравнение сферы с заданным центром и проходящей через заданную точку может быть записано как:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2\]
где (x, y, z) - произвольная точка на сфере, (x_0, y_0, z_0) - координаты центра сферы и r - радиус сферы.
В данном случае центр сферы (x_0, y_0, z_0) = (3, -2, 1) и точка (x, y, z) = (1, 2, -3). Подставим эти значения в уравнение и найдем радиус сферы:
\[(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 1)^2 = r^2\]
\[(1 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2 = r^2\]
\[-2^2 + 4^2 + (-4)^2 = r^2\]
\[4 + 16 + 16 = r^2\]
\[36 = r^2\]
\[r = 6\]
Таким образом, уравнение сферы с центром в точке О (3, -2, 1) и проходящей через точку М (1, 2, -3) имеет вид:
\[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 36\]
5. Чтобы найти значения m, при которых угол между векторами а и b является острым, тупым или прямым, мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}\]
Где \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) - векторы a и b соответственно.
Для острого угла (\(0° < \theta < 90°\)) необходимо, чтобы косинус этого угла был положительным числом, а для тупого угла (\(90° < \theta < 180°\)) - отрицательным числом. Для прямого угла (\(\theta = 90°\)) косинус будет равен нулю.
Сначала вычислим значение числителя:
\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3 \cdot 4) + (m \cdot 1) + (2 \cdot (-2)) = 12 + m - 4\]
Теперь найдем значения знаменателей:
\[|\overrightarrow{a}| = \sqrt{4^2 + m^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + m^2 + 4} = \sqrt{20 + m^2}\]
\[|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + m^2 + 2^2} = \sqrt{9 + m^2 + 4} = \sqrt{13 + m^2}\]
Теперь подставим значения числителя и знаменателей в формулу для косинуса угла:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{12 + m - 4}{\sqrt{20 + m^2} \cdot \sqrt{13 + m^2}} = \frac{m + 8}{\sqrt{(20 + m^2)(13 + m^2)}}\]
Таким образом, чтобы угол между векторами а и b был острым (\(0° < \theta < 90°\)), значение \(m\) должно быть таким, чтобы числитель \((m + 8)\) был положительным, а знаменатель \(\sqrt{(20 + m^2)(13 + m^2)}\) - положительным числом.
Чтобы угол между векторами а и b был тупым (\(90° < \theta < 180°\)), значение \(m\) должно быть таким, чтобы числитель \((m + 8)\) был отрицательным, а знаменатель \(\sqrt{(20 + m^2)(13 + m^2)}\) - положительным числом.
Чтобы угол между векторами а и b был прямым (\(\theta = 90°\)), значение \(m\) должно быть таким, чтобы числитель \((m + 8)\) равнялся нулю, а знаменатель \(\sqrt{(20 + m^2)(13 + m^2)}\) - не равнялся нулю.
Для каждого из случаев острого, тупого и прямого угла, необходимо решить соответствующие неравенства и уравнение относительно \(m\) для получения значений \(m\). Чтобы углы были в градусах.
\[x_{центра} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0\]
\[y_{центра} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{(-1) + 3}{2} = 1\]
\[z_{центра} = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1\]
Таким образом, координаты центра окружности равны (0; 1; 1).
Для определения радиуса окружности можно использовать расстояние между точками A и B, которое является диаметром окружности. Формула для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]
\[d = \sqrt{((-2) - 2)^2 + (3 - (-1))^2 + (2 - 0)^2}\]
\[d = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\]
Таким образом, радиус окружности равен \(r = \frac{d}{2} = \sqrt{6}\).
2. Для начала найдем вектор АС, применив формулу для вычисления вектора, направленного от точки A к точке С:
\[\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (0 - 0; 2 - 4; 5 - (-1)) = (0; -2; 6)\]
Затем найдем вектор СВ, применив формулу для вычисления вектора, направленного от точки С к точке В:
\[\overrightarrow{CV} = (x_V - x_C; y_V - y_C; z_V - z_C) = (1 - 0; 3 - 2; 0 - 5) = (1; 1; -5)\]
Теперь найдем разность векторов АС и СВ, сложив вектор АС и вектор СВ:
\[\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CV} = (0; -2; 6) - (1; 1; -5) = (-1; -3; 11)\]
Наконец, вычислим длину полученного вектора:
\[\text{Длина вектора АС - СВ} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 9 + 121} = \sqrt{131}\]
Таким образом, длина вектора АС - СВ равна \(\sqrt{131}\).
3. Для нахождения угла между векторами АВ и СД мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\]
Где \(\overrightarrow{AB}\) - вектор, направленный от точки А к точке В, а \(\overrightarrow{CD}\) - вектор, направленный от точки С к точке D.
Вычислим значение числителя:
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (x_B - x_A) \cdot (x_D - x_C) + (y_B - y_A) \cdot (y_D - y_C) + (z_B - z_A) \cdot (z_D - z_C)\]
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (6 - 5) \cdot (7 - 7) + (-8 - (-8)) \cdot (-7 - (-5)) + (-2 - (-1)) \cdot (-9 - (-11))\]
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 + 0 + 2 = 2\]
Вычислим значение знаменателя:
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(6 - 5)^2 + (-8 - (-8))^2 + (-2 - (-1))^2}\]
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\]
\[|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2}\]
\[|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(7 - 7)^2 + (-5 - (-8))^2 + (-11 - (-11))^2}\]
\[|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{0 + 9 + 0} = 3\]
Теперь подставим значения числителя и знаменателя в формулу для косинуса угла:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{2}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}\]
Теперь, чтобы найти угол \(\theta\), возьмем арккосинус полученного значения:
\[\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\]
Таким образом, угол между векторами АВ и СД равен \(\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\).
4. Уравнение сферы с заданным центром и проходящей через заданную точку может быть записано как:
\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2\]
где (x, y, z) - произвольная точка на сфере, (x_0, y_0, z_0) - координаты центра сферы и r - радиус сферы.
В данном случае центр сферы (x_0, y_0, z_0) = (3, -2, 1) и точка (x, y, z) = (1, 2, -3). Подставим эти значения в уравнение и найдем радиус сферы:
\[(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 1)^2 = r^2\]
\[(1 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2 = r^2\]
\[-2^2 + 4^2 + (-4)^2 = r^2\]
\[4 + 16 + 16 = r^2\]
\[36 = r^2\]
\[r = 6\]
Таким образом, уравнение сферы с центром в точке О (3, -2, 1) и проходящей через точку М (1, 2, -3) имеет вид:
\[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 36\]
5. Чтобы найти значения m, при которых угол между векторами а и b является острым, тупым или прямым, мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}\]
Где \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) - векторы a и b соответственно.
Для острого угла (\(0° < \theta < 90°\)) необходимо, чтобы косинус этого угла был положительным числом, а для тупого угла (\(90° < \theta < 180°\)) - отрицательным числом. Для прямого угла (\(\theta = 90°\)) косинус будет равен нулю.
Сначала вычислим значение числителя:
\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3 \cdot 4) + (m \cdot 1) + (2 \cdot (-2)) = 12 + m - 4\]
Теперь найдем значения знаменателей:
\[|\overrightarrow{a}| = \sqrt{4^2 + m^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + m^2 + 4} = \sqrt{20 + m^2}\]
\[|\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + m^2 + 2^2} = \sqrt{9 + m^2 + 4} = \sqrt{13 + m^2}\]
Теперь подставим значения числителя и знаменателей в формулу для косинуса угла:
\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{12 + m - 4}{\sqrt{20 + m^2} \cdot \sqrt{13 + m^2}} = \frac{m + 8}{\sqrt{(20 + m^2)(13 + m^2)}}\]
Таким образом, чтобы угол между векторами а и b был острым (\(0° < \theta < 90°\)), значение \(m\) должно быть таким, чтобы числитель \((m + 8)\) был положительным, а знаменатель \(\sqrt{(20 + m^2)(13 + m^2)}\) - положительным числом.
Чтобы угол между векторами а и b был тупым (\(90° < \theta < 180°\)), значение \(m\) должно быть таким, чтобы числитель \((m + 8)\) был отрицательным, а знаменатель \(\sqrt{(20 + m^2)(13 + m^2)}\) - положительным числом.
Чтобы угол между векторами а и b был прямым (\(\theta = 90°\)), значение \(m\) должно быть таким, чтобы числитель \((m + 8)\) равнялся нулю, а знаменатель \(\sqrt{(20 + m^2)(13 + m^2)}\) - не равнялся нулю.
Для каждого из случаев острого, тупого и прямого угла, необходимо решить соответствующие неравенства и уравнение относительно \(m\) для получения значений \(m\). Чтобы углы были в градусах.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
