1. Каково значение смещения груза относительно положения равновесия при времени t=T/4 в уравнении колебаний пружинного

Уравнение колебаний пружинного маятника, заданное вам, имеет вид \(x(t) = 0.05 \sin(10\pi t + \frac{\pi}{4})\), где \(x(t)\) представляет смещение груза относительно положения равновесия в момент времени \(t\), а \(T\) - период колебаний.

1. Чтобы найти значение смещения груза относительно положения равновесия при времени \(t=T/4\), мы подставляем \(t=T/4\) в уравнение и выполняем вычисления:

\(x(T/4) = 0.05 \sin\left(10\pi \frac{T}{4} + \frac{\pi}{4} \right)\)

Так как \(T/4\) представляет четверть периода, выражение можно упростить:

\(x(T/4) = 0.05 \sin\left(\frac{10\pi T}{4} + \frac{\pi}{4} \right)\)

Умножаем и делим числитель на 2:

\(x(T/4) = 0.05 \sin\left(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4} \right)\)

2. Величина, описывающая смещение груза относительно положения равновесия при времени \(t=T/4\) в данном уравнении колебаний, называется амплитудой. В данном случае амплитуда равна 0.05.

3. Значение \(t=T/4\) означает, что мы рассматриваем момент времени, когда прошло \(1/4\) периода колебаний маятника. Это время выражается как \(T\) (полный период колебаний) разделенный на 4. Смещение груза относительно положения равновесия при этом времени задается формулой \(x(T/4) = 0.05 \sin\left(\frac{5\pi T}{2} + \frac{\pi}{4} \right)\).

4. Чтобы найти точку времени, в которой происходит максимальное смещение груза, мы должны определить, когда аргумент синусоиды достигает максимума. В данном случае \(10\pi t + \frac{\pi}{4}\) является аргументом синуса. Аргумент синуса будет максимальным, когда он равен максимальному значению угла \(\theta\), то есть \(\theta = \frac{\pi}{2}\).

Таким образом, чтобы найти точку времени, в которой происходит максимальное смещение груза, мы решаем уравнение:

\(10\pi t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\)

Вычитаем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих сторон:

\(10\pi t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\)

Упрощаем:

\(10\pi t = \frac{\pi}{4}\)

Делим обе стороны на \(10\pi\):

\(t = \frac{\pi}{40}\)

Таким образом, в указанном уравнении колебаний, максимальное смещение груза происходит в момент времени \(t = \frac{\pi}{40}\).