1. Каково взаимное положение линии а и плоскостей α и β, если линия а параллельна линии пересечения плоскостей α

1. Если линия а параллельна линии пересечения плоскостей α и β, то они имеют общую параллельную прямую.

Допустим, линия а пересекает плоскость α в точке А и плоскость β в точке В. Также предположим, что линия пересечения плоскостей α и β обозначается линией с.

Так как линия а параллельна линии с, то углы, образованные линией а и линией с, будут соответственными углами, а это значит, что эти углы будут равны. Таким образом, угол между линией а и плоскостью α будет равен углу между линией с и плоскостью α.

Аналогично, угол между линией а и плоскостью β будет равен углу между линией с и плоскостью β.

2. Если линия а находится в плоскости α и параллельна линии пересечения плоскостей α и β, то линия а будет параллельна плоскости β.

Допустим, линия а находится в плоскости α и параллельна линии с, которая пересекает плоскости α и β. Также предположим, что линия а пересекает плоскость β в точке В.

Так как линия а параллельна линии с, то углы, образованные линией а и линией с, будут соответственными углами, а это значит, что эти углы будут равны. Таким образом, угол между линией а и плоскостью α будет равен углу между линией с и плоскостью α.

Также, поскольку линия а находится в плоскости α, угол между линией а и плоскостью α будет равен 90 градусам. Таким образом, угол между линией с и плоскостью α также будет равен 90 градусам.

Из этих двух углов следует, что линия а будет параллельна плоскости β.

3. Для доказательства, что линия dc параллельна плоскости (abm), предположим, что линия dc не параллельна этой плоскости.

Поскольку точка м не принадлежит плоскости параллелограмма abcd, линия dc будет пересекать эту плоскость.

Пусть точка D лежит на линии dc и принадлежит плоскости (abm). Тогда линия dc будет пересекать плоскость (abm).

Однако, если линия dc пересекает плоскость (abm), то она пересечет параллельную ей плоскость abcd, так как они имеют общую прямую dc.

Таким образом, линия dc не может пересекать плоскость (abm), поскольку она параллельна плоскости abcd.

Значит, линия dc параллельна плоскости (abm).