№1 Каково уравнение прямой m, относительно которой точка а1 (−3; 1) симметрична точке а (−5; 3)? №2 Каково уравнение

№1 Чтобы найти уравнение прямой \(m\), относительно которой точка \(A_1(-3; 1)\) симметрична точке \(A(-5; 3)\), мы можем использовать симметричность относительно середины отрезка между этими двумя точками. Давайте найдем середину отрезка и используем полученные координаты, чтобы найти уравнение прямой.

Сначала найдем координаты середины отрезка:
\[ x_c = \frac{{x_1+x_2}}{2} = \frac{{-3+(-5)}}{2} = -4 \]
\[ y_c = \frac{{y_1+y_2}}{2} = \frac{{1+3}}{2} = 2 \]
Таким образом, координаты середины отрезка равны \( C(-4; 2) \).

Затем, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку \( C \) и точку \( A \), мы можем использовать уравнение прямой, которое имеет вид \( y = kx + b \), где \( k \) - это наклон прямой, а \( b \) - это свободный член уравнения.

Наклон прямой можно найти, используя координаты двух точек на этой прямой:
\[ k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{3 - 2}}{{-5 - (-4)}} = \frac{1}{-1} = -1 \]

Затем, чтобы найти свободный член уравнения, мы можем использовать одну из точек на прямой. Возьмем точку \( C(-4; 2) \):
\[ 2 = (-1)\cdot(-4) + b \]
\[ 2 = 4 + b \]
\[ b = 2 - 4 \]
\[ b = -2 \]

Таким образом, уравнение искомой прямой \( m \) равно:
\[ y = -x - 2 \]

№2 Чтобы найти уравнение кривой, которая получается при отображении параболы \(y = x^2 - 7x + 5\) относительно начала координат, нам нужно заменить \(x\) на \(-x\) и заменить \(y\) на \(-y\) в исходном уравнении, так как мы отображаем относительно начала координат.

Подставим эти замены в исходное уравнение:
\[ -y = (-x)^2 - 7(-x) + 5 \]
\[ -y = x^2 + 7x + 5 \]

Затем перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
\[ x^2 + 7x + y + 5 = 0 \]

Таким образом, уравнение искомой кривой равно:
\[ x^2 + 7x + y + 5 = 0 \]

№3 Чтобы найти координаты концов отрезка \(A_1B_1\), который получается при повороте отрезка \(AB\) с конечными точками \(A(-3; 2)\) и \(B(4; -5)\) на угол \(180^\circ\) вокруг начала координат, мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Найдем координаты точки \(A_1\) после поворота на \(180^\circ\) вокруг начала координат путем замены \(x\) на \(-x\) и \(y\) на \(-y\) в координатах точки \(A(-3; 2)\):
\(A_1(3; -2)\).

2. Найдем координаты точки \(B_1\) после поворота на \(180^\circ\) вокруг начала координат путем замены \(x\) на \(-x\) и \(y\) на \(-y\) в координатах точки \(B(4; -5)\):
\(B_1(-4; 5)\).

Таким образом, концы отрезка \(A_1B_1\) имеют координаты \(A_1(3; -2)\) и \(B_1(-4; 5)\).