1. Каково скалярное произведение векторов AB−→− и AD−→− в данном ромбе? 2. Чему равно скалярное произведение векторов

Начнем с первой задачи. Нам нужно найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) в данном ромбе.

Скалярное произведение двух векторов можно найти умножив модули векторов на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения выглядит следующим образом:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = AB \cdot AD \cdot \cos(\theta)\]

где \(AB\) и \(AD\) - модули векторов, а \(\theta\) - угол между векторами.

В ромбе, диагонали которого пересекаются в точке \(O\), диагонали являются векторами от вершины ромба до его противоположной вершины. То есть, в нашей задаче, \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) являются диагоналями ромба.

Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), нам необходимо знать их модули и угол между ними. Определим эти величины.

В ромбе диагонали равны между собой. Пусть \(d\) - длина диагонали ромба. Тогда \(AB = AD = d\).

Кроме того, в ромбе угол между диагоналями равен 90 градусам. Это следует из свойства ромба, согласно которому диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Теперь, когда у нас есть необходимые значения, давайте найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = AB \cdot AD \cdot \cos(\theta)\)

Подставляем известные значения:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = d \cdot d \cdot \cos(90^\circ)\)

Так как \(\cos(90^\circ) = 0\), то скалярное произведение будет равно:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) в данном ромбе равно 0.

Перейдем ко второй задаче. Здесь нам нужно найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) в данном ромбе.

Аналогично первой задаче, мы можем использовать формулу для нахождения скалярного произведения:

\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = OA \cdot OB \cdot \cos(\theta)\)

Применим эту формулу, зная, что в ромбе длины диагоналей равны между собой (то есть, \(OA = OB = d\)) и угол между диагоналями равен 90 градусам.

\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = d \cdot d \cdot \cos(90^\circ)\)

Так как \(\cos(90^\circ) = 0\), то скалярное произведение будет:

\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) в данном ромбе также равно 0.

Переходим к последней задаче. Здесь нам нужно найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DA}\) в данном ромбе.

Применяем ту же формулу:

\(\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DA} = DC \cdot DA \cdot \cos(\theta)\)

Так как диагонали ромба равны между собой, то \(DC = DA = d\).

Теперь нужно определить угол \(\theta\) между векторами \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DA}\). В ромбе угол между диагоналями снова равен 90 градусам, так что \(\theta = 90^\circ\).

\(\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DA} = d \cdot d \cdot \cos(90^\circ)\)

Так как \(\cos(90^\circ) = 0\), скалярное произведение равняется:

\(\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DA} = 0\)

Значит, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DA}\) в данном ромбе также равно 0.

Таким образом, ответы на все три задачи одинаковы: скалярное произведение векторов равно 0.