1. Каково расстояние от точки К до вершин ромба, если длина стороны ромба АВСД равна 7 см, длина диагонали ВД равна

Для решения задачи 1, нам нужно использовать свойства ромба. Давайте рассмотрим ромб АВСД и обозначим точку К на нём.

1. Расстояние от точки К до вершин ромба можно найти, используя свойство ромба, согласно которому все диагонали являются перпендикулярами друг к другу и делятся пополам.

Найдём длину диагонали АС:

Длина диагонали АС равна половине диагонали ВД, так как диагональ ВД делит ромб на два равных прямоугольных треугольника.

\[\frac{{10 \, см}}{2} = 5 \, см\]

Теперь вычислим расстояние от точки К до вершины А. Нам понадобятся два треугольника: треугольник КАС и треугольник КСД.

Треугольник КАС:

КА — это половина стороны ромба АВСД:

\[\frac{{7 \, см}}{2} = 3,5 \, см\]

Зная длину диагонали АС (5 см) и длину КА (3,5 см), мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти расстояние от точки К до вершины А.

\(КА^2 = АС^2 - КС^2\)

\(КА^2 = 5^2 - 3,5^2\)

\(КА^2 = 25 - 12,25\)

\(КА^2 = 12,75\)

\(КА \approx 3,57 \, см\)

Треугольник КСД:

КС — это половина стороны ромба АВСД:

\[\frac{{7 \, см}}{2} = 3,5 \, см\]

Зная длину диагонали ВД (10 см) и длину КС (3,5 см), мы снова можем применить теорему Пифагора,чтобы найти расстояние от точки К до вершины Д.

\(КД^2 = ВД^2 - КС^2\)

\(КД^2 = 10^2 - 3,5^2\)

\(КД^2 = 100 - 12,25\)

\(КД^2 = 87,75\)

\(КД \approx 9,36 \, см\)

Таким образом, расстояние от точки К до каждой вершины ромба составляет примерно 3,57 см и 9,36 см соответственно.

Теперь рассмотрим задачу 2, чтобы найти расстояние от точки Р до стороны АВ в прямоугольном треугольнике АВС.

2. Мы имеем прямоугольный треугольник АВС, где угол С равен 90 градусов, катеты равны 16 см и CR равно 4 см. Обозначим точку Р на стороне AB.

Чтобы найти расстояние от точки Р до стороны АВ, мы можем использовать подобие треугольников по правилу БОА (БОП - Бразильская олимпиада по математике).

Мы можем установить следующее равенство:

\(\frac{{РС}}{{AB}} = \frac{{CR}}{{BC}}\)

Заметим, что точка P находится на стороне AB, которая является гипотенузой треугольника ABC. Так как треугольник ABC -- прямоугольный, мы можем применить теорему Пифагора:

\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

Зная, что катеты равны 16 см, мы можем записать:

\(AB^2 = 16^2 + 16^2\)

\(AB^2 = 256 + 256\)

\(AB^2 = 512\)

\(AB = \sqrt{512} \approx 22,63 см\)

Теперь мы можем подставить значения в наше уравнение:

\(\frac{{РС}}{{22,63}} = \frac{{4}}{{16}}\)

Теперь нам нужно решить это уравнение, чтобы найти РС:

\(РС = \frac{{4 \cdot 22,63}}{{16}}\)

\(РС \approx 5,65 см\)

Таким образом, расстояние от точки Р до стороны АВ в прямоугольном треугольнике АВС составляет примерно 5,65 см.

Теперь рассмотрим задачу 3.

3. Нам нужно найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его основание - квадрат, и диагональ основания равна 10 см.

В прямоугольном параллелепипеде, основание которого - квадрат, диагональ основания является гипотенузой прямоугольного треугольника.

Зная длину диагонали основания (10 см), мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны квадрата, которая является катетом треугольника:

\(AB^2 = BC^2 + AC^2\)

Где AB — диагональ основания и BC, AC — стороны квадрата.

Мы знаем, что все стороны квадрата равны между собой, поэтому мы можем записать:

\(AB^2 = BC^2 + BC^2\)

\(AB^2 = 2 \cdot BC^2\)

\(BC^2 = \frac{{AB^2}}{2}\)

\(BC = \sqrt{\frac{{AB^2}}{2}}\)

Зная, что длина диагонали основания (AB) равна 10 см, мы можем найти BC:

\(BC = \sqrt{\frac{{10^2}}{2}} = \sqrt{\frac{{100}}{2}} = \sqrt{50} \approx 7,07 см\)

Теперь мы можем найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, используя теорему Пифагора еще раз.

Мы имеем диагональ основания (AB) равную 10 см и диагональ параллелепипеда, которую мы хотим найти (BD).

\(BD^2 = AB^2 + BC^2\)

\(BD^2 = 10^2 + 7,07^2\)

\(BD^2 = 100 + 49.9849\)

\(BD^2 = 50.9849\)

\(BD \approx 7,14 см\)

Таким образом, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда составляет примерно 7,14 см.