1) Каково расстояние от точки К до плоскости А в случае, когда сторона МК равностороннего треугольника лежит

Хорошо, рассмотрим по очереди оба вопроса.

1) Для определения расстояния от точки К до плоскости А, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. Формула имеет вид:
\[d = \frac{{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}}{{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}\]

где \(A, B\) и \(C\) - это коэффициенты общего уравнения плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\), а \(x_0, y_0\) и \(z_0\) - координаты точки К.

В данной задаче известно, что сторона МК равностороннего треугольника лежит в плоскости А. Поскольку равносторонний треугольник имеет все стороны и углы равными, мы можем сделать вывод, что угол КМК равен 60 градусам. Так как угол КЕА также равен 60 градусам, то отрезок ЕА является высотой треугольника КЕА. Мы знаем, что высота треугольника является перпендикулярной к его основанию. То есть, точка Е лежит на плоскости А.

Значит, уравнение плоскости А имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\), где точка Е (0, y, 0) лежит на плоскости А.

Тогда мы можем записать уравнение плоскости следующим образом:
\[A \cdot 0 + B \cdot y + C \cdot 0 + D = 0\]
\[By + D = 0\]
\[By = -D\]
\[y = \frac{{-D}}{{B}}\]

Таким образом, координаты точки Е равны (0, \(\frac{{-D}}{{B}}\), 0).

Теперь у нас есть две точки в плоскости А - точка К (x, y, z) и точка Е (0, \(\frac{{-D}}{{B}}\), 0). Мы можем найти вектор между этими точками, используя разность координат. Пусть \(\vec{KE}\) - это вектор от точки К до точки Е.

\[\vec{KE} = \begin{pmatrix}0 - x \\ \frac{{-D}}{{B}} - y \\ 0 - z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x \\ \frac{{-D}}{{B}} - y \\ -z\end{pmatrix}\]

Теперь нам нужно найти проекцию этого вектора на нормаль плоскости А. Нормаль плоскости А имеет координаты (A, B, C).

Проекция вектора \(\vec{KE}\) на нормаль плоскости А равна:
\[\text{Проекция}_{\vec{KE}} = \frac{{\vec{KE} \cdot \vec{N}}}{{\|\vec{N}\|}}\]
где \(\vec{N}\) - нормальный вектор плоскости А.

Скалярное произведение векторов \(\vec{KE}\) и \(\vec{N}\) равно:
\(\vec{KE} \cdot \vec{N} = (-x) \cdot A + \left(\frac{{-D}}{{B}} - y\right) \cdot B + (-z) \cdot C\)
\(\vec{KE} \cdot \vec{N} = -Ax + \left(\frac{{-DB}}{{B}} - By\right) + -Cz\)
\(\vec{KE} \cdot \vec{N} = -Ax + \left(\frac{{-D - By}}{{y}}\right) + -Cz\)

Норма (длина) вектора \(\vec{N}\) равна:
\(\|\vec{N}\| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\)

Теперь мы можем вычислить проекцию вектора \(\vec{KE}\) на плоскость А:
\[\text{Проекция}_{\vec{KE}} = \frac{{-Ax + \left(\frac{{-D - By}}{{y}}\right) + -Cz}}{{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}\]

Однако, расстояние от точки К до плоскости А равно модулю проекции вектора \(\vec{KE}\) на нормаль плоскости А:

\[d = \left|\text{Проекция}_{\vec{KE}}\right|\]

Таким образом, расстояние от точки К до плоскости А равно:
\[d = \left|\frac{{-Ax + \left(\frac{{-D - By}}{{y}}\right) + -Cz}}{{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}\right|\]

2) Чтобы найти угол между прямой МК и плоскостью А, мы можем использовать скалярное произведение. Удобно использовать следующую формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{MK} \cdot \vec{N}}}{{\|\vec{MK}\| \cdot \|\vec{N}\|}}\]

где \(\theta\) - это угол между прямой МК и плоскостью А, \(\vec{MK}\) - направляющий вектор прямой МК, а \(\vec{N}\) - нормальный вектор плоскости А.

Мы можем легко выразить направляющий вектор прямой МК. Пусть точка М (х, у, z). Тогда:

\[\vec{MK} = \begin{pmatrix}x - 0 \\ y - \frac{{-D}}{{B}} \\ z - 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y + \frac{{D}}{{B}} \\ z \end{pmatrix}\]

Теперь мы можем записать формулу для нахождения угла:

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{MK} \cdot \vec{N}}}{{\|\vec{MK}\| \cdot \|\vec{N}\|}}\]

где скалярное произведение \(\vec{MK} \cdot \vec{N}\) равно:
\[\vec{MK} \cdot \vec{N} = x \cdot A + \left(y + \frac{{D}}{{B}}\right) \cdot B + z \cdot C\]
\[\vec{MK} \cdot \vec{N} = Ax + By + \frac{{BD}}{{B}} + Cz\]
\[\vec{MK} \cdot \vec{N} = Ax + By + D + Cz\]

Норма (длина) вектора \(\|\vec{MK}\|\) равна:
\[\|\vec{MK}\| = \sqrt{x^2 + \left(y + \frac{{D}}{{B}}\right)^2 + z^2}\]

Норма (длина) вектора \(\|\vec{N}\|\) равна:
\[\|\vec{N}\| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\]

Теперь мы можем вычислить косинус угла \(\theta\):
\[\cos(\theta) = \frac{{Ax + By + D + Cz}}{{\sqrt{x^2 + \left(y + \frac{{D}}{{B}}\right)^2 + z^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}\]

Чтобы найти сам угол \(\theta\), мы можем использовать обратную функцию косинуса, которая называется арккосинус:
\[\theta = \arccos\left(\frac{{Ax + By + D + Cz}}{{\sqrt{x^2 + \left(y + \frac{{D}}{{B}}\right)^2 + z^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}\right)\]

Таким образом, угол между прямой МК и плоскостью А равен \(\theta = \arccos\left(\frac{{Ax + By + D + Cz}}{{\sqrt{x^2 + \left(y + \frac{{D}}{{B}}\right)^2 + z^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}\right)\).