1. Каково относительное изменение полной энергии маятника, если его амплитуда уменьшилась в 1,1 раза за данный период?

Задача 1:
Для решения данной задачи, нам нужно знать формулу для полной энергии маятника и учитывать изменение его амплитуды.

Выражение для полной энергии маятника:
\[E_{полн} = E_{пот} + E_{к} = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2,\]
где:
\(E_{полн}\) - полная энергия маятника,
\(E_{пот}\) - потенциальная энергия маятника,
\(E_{к}\) - кинетическая энергия маятника,
\(m\) - масса маятника,
\(g\) - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²),
\(h\) - высота подвеса маятника,
\(v\) - скорость маятника.

Из условия задачи известно, что амплитуда маятника уменьшилась в 1,1 раза. Это означает, что его начальная амплитуда(A1) умноженная на коэффициент сокращения (k) равна новой амплитуде(A2):
\[A2 = A1 \cdot k,\]
где:
\(A1\) - начальная амплитуда маятника,
\(A2\) - новая амплитуда маятника,
\(k\) - коэффициент сокращения (1,1 в данной задаче).

Период колебаний маятника зависит от его длины (L) и ускорения свободного падения (g):
\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}},\]
где:
\(T\) - период колебаний маятника,
\(L\) - длина маятника.

Теперь, имея все эти формулы, можно приступить к решению задачи и нахождению относительного изменения полной энергии маятника.

1. Найдем начальную амплитуду маятника (A1).
2. Рассчитаем новую амплитуду (A2) по формуле \(A2 = A1 \cdot k\).
3. Вернемся к выражению для полной энергии маятника и подставим новую амплитуду (A2) вместо высоты (h), поскольку полная энергия маятника считается как потенциальная энергия в верхней точке свинга (h = A2).
4. Видим, что потенциальная энергия маятника уменьшилась в 2 раза.
5. Выполним вычисления для кинетической энергии маятника. Для этого положим, что скорость (v) маятника в верхней точке его свинга равна 0 (считаем без потерь энергии).
6. Отношение полной энергии после изменения амплитуды к полной энергии до изменения амплитуды будет относительным изменением полной энергии маятника.

Таким образом, ответ на задачу: относительное изменение полной энергии маятника составляет 2.

Задача 2:
У математического маятника и стержня с длиной, равной длине маятника, периоды колебаний будут различаться из-за разной формулы для периода.

Формула для периода колебаний математического маятника:
\[T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}},\]
где:
\[T_1\) - период колебаний математического маятника,
\(L\) - длина маятника,
\(g\) - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²).

Формула для периода колебаний стержня, подвешенного за один из его концов:
\[T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{3L}{2g}},\]
где:
\(T_2\) - период колебаний стержня,
\(L\) - длина стержня,
\(g\) - ускорение свободного падения (около 9,8 м/с²).

Для нахождения отношения периодов, подставим соответствующие значения в формулы и разделим полученные выражения:
\[\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}}{2 \pi \sqrt{\frac{3L}{2g}}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{1} = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0,82 .\]

Таким образом, периоды колебаний математического маятника и стержня с длиной, равной длине маятника, отличаются примерно в 0,82 раза.