1) Каково доказательство, что треугольник ABD равен треугольнику DCA, а AB равна CD? (см. рис. 4.150) 2) Можно

Для доказательства равенства треугольников ABD и DCA и равенства сторон AB и CD, нам необходимо применить одну из аксиом геометрии, а именно аксиому SSS (сторона-сторона-сторона).

1) Дано: Треугольник ABD и треугольник DCA.

Мы знаем, что у треугольника ABD две стороны AB и AD, а также у треугольника DCA две стороны DC и DA.

Теперь нам нужно доказать, что третья сторона BD равна третьей стороне CA, чтобы применить аксиому SSS.

Из рисунка 4.150 видно, что у треугольника ABD угол A равен углу DCA (они вертикальные углы, обозначенные одной и той же буквой), а угол B равен углу CDA (они соответственные углы параллельных прямых AB и CD).

Таким образом, мы можем заключить, что треугольники ABD и DCA имеют одинаковые углы при вершинах, следовательно, они подобны.

Также, поскольку у них все стороны пропорциональны, сторона BD равна стороне CA (по аксиоме SSS).

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABD равен треугольнику DCA и сторона AB равна стороне CD.

2) Дано: Треугольник ABC и треугольник CDA.

Мы будем использовать аксиому SAS (сторона-угол-сторона) для доказательства равенства треугольников.

Сначала посмотрим на рисунок 4.151. Мы видим, что у треугольника ABC сторона AB равна стороне CD (это дано задачей), а также угол ABC равен углу CDA (они соответственные углы параллельных прямых AB и CD).

Но нам нужно ещё показать, что третья сторона BC равна третьей стороне DA, чтобы применить аксиому SAS.

Для этого взглянем на рисунок 4.150. Мы видим, что у треугольника ABC угол BCA равен углу DAB (они вертикальные углы), а угол ABC равен углу CDA (они соответственные углы параллельных прямых AB и CD).

Таким образом, мы можем заключить, что треугольники ABC и CDA имеют два равных угла и одну равную сторону (по аксиоме SAS), но третьи стороны BC и DA не равны. Таким образом, мы не можем доказать, что треугольник ABC равен треугольнику CDA.

3) Дано: AB параллельно CD.

Если AB параллельно CD, то мы можем использовать теорему Талеса для доказательства равенства сторон треугольников.

Мы знаем, что треугольники ABC и CDA имеют два параллельных прямых AB и CD, а также мы знаем, что сторона AB равна стороне CD.

Таким образом, мы можем заключить, что треугольники ABC и CDA имеют два параллельных прямых и равные стороны. Следовательно, треугольники ABC и CDA подобны.

Однако, мы не можем подтвердить равенство сторон BF и AE, так как в задании недостаточно информации об этих сторонах.

В заключение, мы доказали, что треугольник ABD равен треугольнику DCA, а сторона AB равна CD. Мы также доказали, что треугольник ABC не равен треугольнику CDA и не подтвердили равенство BF и AE при заданных условиях.